Valor en riesgo de Monte-Carlo utilizando la Distribución de Pareto Generalizada (GPD)

Question

He creado un programa VBA para calcular el VaR utilizando Monte Carlo, he simulado el movimiento browniano. Este método podría estar bien para el 100% de la cartera de acciones, pero digamos que esta cartera puede tener renta fija / inversión alternativa / derivados, etc y que el porcentaje de composición puede o no puede ser conocido por mí. En ese caso, como modelo genérico, ¿puedo utilizar la Distribución de Pareto Generalizada (GPD) para Monte Carlo? El uso no será para una valoración precisa del riesgo de mercado, sino más bien para un informe de análisis del riesgo de rendimiento de la inversión. Tengo un enlace para GPD en Excel en el siguiente enlace. http://www.quantitativeskills.com/sisa/rojo/pareto.xls Pero en ese caso, ¿cuál o cómo será mi ecuación estocástica para la modelización del precio/retorno? Creo que no basta con aleatorizar x0 o alfa. Mi código VBA actual es el siguiente para una fácil referencia:

    Function ValueAtRiskMC(confidence, horizon, RiskFree, StDv, StockValue)

Dim i As Integer

Dim stockReturn(1 To 10000) As Double
    'start of monte carlo loop
    For i = 1 To 10000

    'According to the Black Scholes model, the price path of stocks is defined by
    'the stochastic partial differential equation dS = (r - q -1/2sigma^2)dt + sigma dz
    'where dz is a standard Brownian motion, defined by dz = epsilon * sqrt(dt)
    'where epsilon is a standard normal random variable; dS is the change in stock price
    'r is the risk-free interest rate, q is the dividend of the stock,
    'sigma is the volatility of the stock.

    'The model implies that dS/S follows a normal distribution with mean
    'r - q -1/2sigma^2, and standard deviation sigma * epsilon * sqrt(dt))
    'As such the price at time 0 < t <= T is given by
    'St = S0 * exp( (r – q - ½ sigma^2) dt + sigma * epsilon * sqrt(dt))

    'As we are ignoring dividends etc here so
    'below line is for geometric brownian motion
    stockReturn(i) = Exp((RiskFree - 0.5 * StDv ^ 2) + StDv * Application.NormInv(Rnd(), 0, 1)) - 1
    Next i
    'end of monte carlo loop

    ValueAtRiskMC = StockValue * (-(horizon) ^ 0.5) * Application.Percentile(stockReturn, 1 - confidence)

End Function

Answer 1

La deriva neutral al riesgo es necesaria para la fijación de precios de los derivados. Para un $100\%$ cartera de valores se puede tomar la deriva del mundo real - a veces una buena suposición es una deriva de cero.

Para la renta fija se podría hacer lo mismo y podría necesitar más sofisticación para el plazo de la varianza. Si tiene bonos a corto plazo, necesitará un modelo especial para el pull-to-par.

Para los derivados: para las opciones lo mejor es modelar el precio al contado (y otros parámetros) y luego hacer una valoración completa. O, como aproximación, hacer Delta-Gamma. Pero de nuevo: cubrir muchas clases de activos en una sola aplicación es un gran proyecto (por eso existen esos vendedores de soluciones comerciales).

¿Por qué quiere utilizar GPD? Si desea utilizar la GPD para modelar las colas gruesas, podría utilizarla para todas las clases de activos.

Si quiere modelar colas gordas, puede utilizar los modelos de Levy (rendimientos distribuidos en t, mezclas normales-inversas de Gauss).

Para encontrar algunas palabras clave que buscar puedes echar un vistazo aquí o navega a través de este libro .

Edición: si quieres usar el GPD de todos modos, entonces mirando el página de wikipedia se encuentra un algoritmo para la generación de números aleatorios de esta distribución. Por ejemplo, en el caso especial en que $\xi=0$ se dibuja un uniforme $U$ y calcular $$ X = \mu - \sigma \log(U) $$ y $X$ tiene la distribución deseada. La fórmula anterior proviene de la generación de números aleatorios por inversión de la FCD, que es un enfoque general. Por supuesto, hay que ajustar los parámetros de la GPD. ¿Ayuda esto?