Tengo un modelo de crecimiento endógeno debido a los efectos indirectos.
$\textbf{Model:}$ $$K_t=\frac{1}{n}\sum_{t=1}^nk_t$$ En este modelo, $k_t$ es elegido por los agentes, y $K_t=\bar{k}_t$ (la media de todos los $k_t$ ).
Ahora, los agentes quieren maximizar dinámicamente la utilidad (bajo ciertas restricciones) y tienen una utilidad CRRA (aversión al riesgo relativo constante), por lo que la maximización parece: $$\sum_{t=0}^\infty\beta^t\bigg(\frac{c_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}\bigg)$$ $$s.t.\;Y_t=k_t^\alpha(E_tL)^{1-\alpha}$$ $$c_t+i_t=Y_t$$ $$k_{t+1}=(1-\delta)k_t+i_t$$ $$c_t,i_t\geq0$$
$E_tL$ es la mano de obra efectiva y el resto de las variables son típicas (puedo dar sus definiciones si se solicita).
Una última adición al modelo es que hay dos restricciones de equilibrio: $$E_t=\frac{K_t}{L}$$ $$k_t=K_t$$ $\textbf{Solution:}$
Utilizando un enfoque de ecuación de Euler, dos términos en el objetivo: $$...\frac{\beta^t[k_t^\alpha K_t^{1-\alpha}+(1-\delta)k_t-k_{t+1}]^{1-\gamma}}{1-\gamma}+\frac{\beta^{t+1}[k_{t+1}^\alpha K_{t+1}^{1-\alpha}+(1-\delta)k_{t+1}-k_{t+2}]^{1-\gamma}}{1-\gamma}...$$ FOC:
en relación con $k_{t+1}$ y sustituyendo en el consumo:
$$\beta^tc_t^{-\gamma}=\beta^{t+1}c_{t+1}^{-\gamma}[\alpha k_{t+1}^{\alpha-1}K_{t+1}^{1-\alpha}+1-\delta]$$ Sustituyendo en las restricciones de equilibrio: $$c_t^{-\gamma}=\beta c_{t+1}^{-\gamma}[\alpha+1-\delta]$$ $$\implies \frac{c_{t+1}}{c_t}=[\beta(\alpha+1-\delta)]^{\frac{1}{\gamma}}$$ Esto implica que el consumo crece a una tasa constante que depende de los parámetros de preferencia.
Lo siguiente que quiero demostrar es que tenemos una vía de crecimiento equilibrada. Con esto quiero decir que todas las variables crecen al mismo ritmo constante. $$\frac{k_{t+1}}{k_t}=\frac{c_{t+1}}{c_t}?$$ He empezado a responder a la pregunta, pero me he atascado. Esto es lo que tengo hasta ahora: $$k_{t+1}=k_t^\alpha K_t^{1-\alpha}+(1-\delta)k_t-c_t$$ En equilibrio $K_t=k_t$ : $$k_{t+1}=k_t+(1-\delta)k_t-c_t$$ $$\implies \frac{k_{t+1}}{k_t}=1+(1-\delta)-\frac{c_t}{k_t}$$ Si tenemos una tasa constante de crecimiento del capital, supongamos: $$\frac{k_{t+1}}{k_t}<\frac{c_{t+1}}{c_t}$$ Si esto es cierto: $$\underset{t\rightarrow \infty}{lim}\;\frac{k_{t+1}}{k_t}=\underset{t\rightarrow \infty}{lim}\;1+(1-\delta)-\frac{c_t}{k_t}=-\infty$$ Esto significa que la tasa de crecimiento seguirá disminuyendo. Esto puede ocurrir de dos maneras. La primera es si $\underset{t\rightarrow \infty}{lim}\;k_t=-\infty$ lo que demostraría claramente que no puede ser el caso porque el capital no puede ser negativo. La segunda forma en que esto podría ocurrir es si $\underset{t\rightarrow \infty}{lim}\;k_t=D$ donde $D$ es alguna asíntota horizontal positiva. Si se acercara a alguna asíntota, no hay ninguna razón por la que no pueda darse el caso de que el consumo crezca a un ritmo más rápido que el capital. Aquí es donde estoy atascado. ¿Cómo puedo demostrar que no puede converger a alguna asíntota, y que $\underset{t\rightarrow \infty}{lim}\;k_t=-\infty$ ? Además, si hay una forma más fácil de demostrar que este modelo presenta trayectorias de crecimiento equilibradas, ¿cuál es? Cualquier ayuda será muy apreciada.
