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Exceso de rentabilidad con cobertura de divisas

En el célebre artículo "Global portfolio optimisation" de Black y Litterman, los autores definieron el exceso de rentabilidad de los activos con cobertura de divisas de la siguiente manera

$$ E_t = 100 \frac{P_{t+1}X_t}{P_tX_{t+1}} + 100\frac{X_{t+1} - F_t^{t+1}}{X_t}(1+R_t) - R_t $$

donde $E_t$ el exceso de rentabilidad de un activo con cobertura de divisas, $P_t$ el precio del activo en la moneda extranjera, $X_t$ el tipo de cambio en unidades de moneda extranjera por dólar estadounidense, $R_t$ el tipo corto nacional y $F_t^{t+1}$ es el tipo de cambio a plazo de un período en el momento $t$ .

Mi pregunta es : No entiendo la $(1+R_t)$ en el segundo elemento del lado derecho de la ecuación, ¿alguien tiene una explicación?

Gracias por su ayuda.

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Se cubre con contratos a plazo de un periodo. ¿Cuántos contratos necesita? Si tienes un millón de dólares equivalentes en activos extranjeros, ahora vendes contratos a plazo que te pagarán 1*(1+R) millones de dólares frente a la moneda extranjera en un periodo, donde R es el tipo de interés de un periodo en dólares. El segundo término de su ecuación es el rendimiento de estos contratos a plazo.

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¿Por qué los contratos a plazo me "pagan" algo? Estoy de acuerdo en que se tome el tipo de cambio interno actual y extranjero para fijar el precio de un contrato a plazo de divisas, pero ¿por qué, esto afectará a la rentabilidad desde una perspectiva ex post?

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$N$ siendo el nocional. Pero como has dicho, lo nocional $N$ De hecho $P_{t+1}$ es desconocido. Entonces, ¿cómo determinarlo? ¿O cómo tomar una N que tenga sentido?

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user35546 Puntos 11

Creo que tienes la respuesta en el comentario que has hecho. Lo explicaré de nuevo con el tipo de cambio inverso S, y déjame representar el precio a plazo de este cambio por f. Y déjame representar el primer tiempo por 0 y el segundo por t, ¡ya no hay multiperiodo como en la respuesta anterior! Ahora el valor del activo sin cobertura en el siguiente paso será:

$P_t S_t$

Queremos estar expuestos al activo pero no al tipo de cambio, así que vamos a cubrirnos con N contratos a plazo:

$P_t S_t+N\left(f-S_t\right)$

Si podemos establecer N igual a $P_t$ entonces tenemos una cobertura perfecta pero este valor es desconocido. Así que se puede establecer N igual a $P_0$ o su valor de avance $P_0 \left(1+r_f\right)$ . Vamos con la segunda como usted sugirió.

$P_t S_t+P_0\left(1+r_f\right) \left(f-S_t\right)$

Ahora divide por el valor inicial $P_0 S_0$ , Obtenemos dos términos:

$\frac{P_t S_t}{P_0 S_0}+\frac{1}{S_0}\left(1+r_f\right) \left(f-S_t\right)$

Ahora lo sabemos:

$f=S_0\frac{1+r_d}{1+r_f}$ .

Lo que significa que podemos escribir la expresión anterior de la siguiente manera:

$\frac{P_t S_t}{P_0 S_0}+\frac{1+r_d}{f}\left(f-S_t\right)$

Ahora sólo tienes que invertir el tipo de cambio y el precio a plazo al formato de la pregunta: Sustituye S por 1/X y f por 1/F.

$\frac{P_t X_0}{P_0 X_t}+\left(1+r_d\right) F\left(\frac{1}{F}-\frac{1}{X_t}\right)$

Combinando los términos y cancelando la F, te acercas mucho a su fórmula:

$\frac{P_t X_0}{P_0 X_t}+ \frac{X_t-F}{X_t} \left(1+r_d\right)$

Ahora, como queremos un exceso de rentabilidad, restamos la tasa de descuento en dólares para obtener su fórmula completa. No obstante, observe esta diferencia: están dividiendo el segundo término por $X_{0}$ aunque en lugar de $X_t$ .

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Con respecto a la diferencia al final, podría ser un error tipográfico. Muchas gracias por su explicación y su paciencia.

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user35546 Puntos 11

He visto algo similar en un contexto de varios periodos, así que lo intentaré, aunque no veo el cálculo detallado que podrían haber utilizado Black y Litterman.

Primero invierto el tipo de cambio y lo llamo S, que ahora representa el precio de una unidad de otras monedas en dólares (por ejemplo, una libra equivale a S dólares). Esto es sólo para simplificar el cálculo.

El valor de la cartera sin cobertura en cualquier momento t será $P_t S_t$ . Supongamos primero que invertimos durante un periodo. Recibiremos $P_{t+1}$ unidades de, por ejemplo, libras en el momento t+1, cuyo valor en dólares fluctuará, por lo que para cubrirnos compramos dólares a plazo, por ejemplo $F_{t,t+1}$ que representa el precio a plazo de una libra en dólares. Pero tenemos que cubrir, por ejemplo $P_t$ libras, así que compramos P contratos en lugar de uno. El valor de nuestra cartera cubierta en el momento $t+1$ sería:

$V_{t+1}=P_{t+1}S_{t+1}+P_t \left(F_{t,t+1}-S_{t+1} \right)$

Ahora consideremos un período múltiple y supongamos que seguimos con la cobertura a plazo: seguimos cubriendo un período por delante. El valor de la cartera después de, digamos, un período T, sería:

$V_T=P_{T}S_{T}+\sum_{t=0}^{T-1}{P_{t} \left(F_{t,t+1}-S_{t+1} \right)}$

Habríamos financiado el activo, pero la cobertura de divisas estará ganando o perdiendo dinero, por lo que hay algunos supuestos alternativos que uno puede hacer - por ejemplo, 1) la inversión en el activo se reduce o aumenta por la cantidad de pérdida / ganancia en la cobertura de divisas, 2) los tipos de interés son tan bajos, y la posición neta será pequeña, por lo que no hará una diferencia, 3) debemos tener en cuenta el valor temporal del dinero. Me quedo con la tercera y añado el cargo/recompensa por el saldo en la cuenta de cobertura:

$V_T=P_{T}S_{T}+\sum_{t=0}^{T-1}{P_{t} \left(F_{t,t+1}-S_{t+1} \right)\left( 1+R \right)^{T-t-1}}$

Si divides lo anterior por el valor inicial de la cartera, obtendrás la fórmula en la forma que has escrito. Fíjate que he invertido la X y por eso verás algunas diferencias.

Así que puedo explicar el 1+R en configuraciones multiperíodo, pero no estoy seguro de que esto sea lo que los escritores pretendían. Otra posible explicación sería el margen - comercio colateralizado o mark-to-market.

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Gracias por su respuesta bien documentada. Entiendo perfectamente su punto de vista. Sin embargo, si tomamos su fórmula multiperiodo con $T=1$ Cuando usted dice "Pero tenemos que cubrir, digamos $P_t$ "¿podría estar aquí la respuesta? Podríamos decir que esperamos que el activo de riesgo "en promedio" gane el tipo libre de riesgo Pero en este caso, yo tomaría el tipo libre de riesgo extranjero y no el nacional.

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