uso de la función de utilidad intertemporal: calcular el consumo

Question

Me he encontrado con esto mucho en mis exámenes y parece que no puedo entender cómo utilizar estas funciones aquí es un ejemplo fácil:

Un consumidor que sólo vivirá 2 períodos recibe 1000 euros en el primer período y 5000 euros en el segundo período, si el interés está al 0% cuánto consumirá en ambos períodos sabiendo que su función de utilidad es :

U(C¹,C²) = 3×C¹×C²

Donde C¹ es la consomación del primer período y C² del segundo.

¿Cómo utilizo esta función de utilidad para calcular el consumo en ambos períodos?

Answer 1

Esta es la restricción presupuestaria de dos períodos:

C1 + C2/(1+r) = Y1 + Y2/(1+r)

La derivación es sencilla. En el lado izquierdo está el valor actual del consumo (considerado durante el período 1) y en el derecho el valor actual de la renta.

Intuitivamente, piense en 1/(1+r) en el LHS como la relación de precios entre el Bien 1 y el Bien 2. Ahora puede resolver el problema u-max como de costumbre.

Answer 2

Ahora que el OP ha dado su propia respuesta, vamos a dar también el tratamiento estándar de este problema.

No hay producción, el consumidor recibe dotaciones extraordinarias en cada período, $Y_1, Y_2$ y puede pedir prestado (o prestar) durante el primer periodo a un tipo de interés exógeno no negativo $r$ .

¿Cuál es la restricción presupuestaria de dos períodos del consumidor? Es más intuitivo escribirla como

$$C_2 = Y_2 + (1+r)(Y_1-C_1) \tag{1}$$

El consumidor puede consumir su dotación del segundo período ajustada por los resultados de sus actividades de préstamo o empréstito en el primero: Si su dotación es mayor que su consumo en el primer período, $Y_1-C_1 >0$ significa que el consumidor actuó como acreedor, y en el segundo período recibirá el principal más los intereses, para consumir además de su dotación del segundo período.

Si $Y_1-C_1 <0$ significa que el consumidor actuó como prestatario, y en el segundo periodo tendrá que devolver el préstamo con sus intereses. Así que $(1)$ cubre ambos casos.

Entonces el problema de maximización de la utilidad se plantea como

$$\max_{C_1,C_2} U(C_1,C_2) \\ s.t. C_2 = Y_2 + (1+r)(Y_1-C_1) \tag{2}$$

Podemos insertar la restricción en la función objetivo y maximizar sólo con respecto a $C_1$ . Por tanto, la condición de primer orden es

$$\frac {\partial U(C_1,C_2(C_1))}{\partial C_1} = 0 \tag {3}$$

y la condición de segundo orden es

$$\frac {\partial^2 U(C_1,C_2(C_1))}{\partial C_1^2} < 0 \tag {4}$$

en el punto crítico.

Utilizando la forma funcional específica de la función de utilidad de la pregunta, $U= 3C_1C_2$ tenemos

$$\frac {\partial U(C_1,C_2(C_1))}{\partial C_1} = 3C_2 - 3C_1\cdot(1+r)$$

$$= 3[Y_2 + (1+r)(Y_1-C_1)] - 3(1+r)C_1$$

$$= 3Y_2+ 3(1+r)Y_1 - 6(1+r)C_1 \tag{5}$$

Tenga en cuenta que

$$\frac {\partial^2 U(C_1,C_2(C_1))}{\partial C_1^2} = -6(1+r) <0$$ por lo que se cumple la condición de segundo orden para un máximo.

Configuración $(5)$ igual a cero obtenemos $$C_1^* = \frac {Y_2}{2(1+r)}+ \frac 12 Y_1 \tag{6}$$

En $(6)$ concluimos que el consumo en el primer periodo nunca caerá por debajo de la mitad de la dotación del periodo, y que es una función negativa del interés. Además, al consumidor le resultará óptimo pedir prestado cuando

$$C_1^* > Y_1 \implies \frac {Y_2}{2(1+r)}+ \frac 12 Y_1 > Y_1$$

$$\implies Y_2 > (1+r)Y_1$$

Utilizando los supuestos numéricos específicos de la pregunta, $Y_1 = 1000, Y_2 = 5000, r=0$ obtenemos $$C_1^* = \frac {5000}{2}+ \frac 12 1000 = 3000$$

Answer 3

Finalmente descubrí cómo utilizar la función de utilidad así que voy a detallar por lo que cualquiera que necesite una respuesta detallada, ya que era bastante confuso a pesar de que estaba bien consciente de la ecuación :

C1 + C2/(1+r) = Y1 + Y2/(1+r)

Pero no sabía cómo usarlo así que voy a explicar ,

Y [ ] r = 0%

Así que tenemos

C1+C2/(1+0)=Y1+Y2/(1+0 C1+C2=Y1+Y2 Entonces C1=Y1+Y2-C2 con Y1+Y2=6000

Sustituye el valor de C1 en la función de utilidad :

U=3×(6000-C2)×C2

Sabemos que la utilidad es máxima cuando

dU/dC2 = 0 = -6C2+18000 C2=3000

Para obtener C1 sólo tenemos que poner C2 en la restricción presupuestaria de dos periodos para obtener

C1=3000

Y ahí está, si he hecho algo mal no dude en comentar