Ahora que el OP ha dado su propia respuesta, vamos a dar también el tratamiento estándar de este problema.
No hay producción, el consumidor recibe dotaciones extraordinarias en cada período, $Y_1, Y_2$ y puede pedir prestado (o prestar) durante el primer periodo a un tipo de interés exógeno no negativo $r$ .
¿Cuál es la restricción presupuestaria de dos períodos del consumidor? Es más intuitivo escribirla como
$$C_2 = Y_2 + (1+r)(Y_1-C_1) \tag{1}$$
El consumidor puede consumir su dotación del segundo período ajustada por los resultados de sus actividades de préstamo o empréstito en el primero: Si su dotación es mayor que su consumo en el primer período, $Y_1-C_1 >0$ significa que el consumidor actuó como acreedor, y en el segundo período recibirá el principal más los intereses, para consumir además de su dotación del segundo período.
Si $Y_1-C_1 <0$ significa que el consumidor actuó como prestatario, y en el segundo periodo tendrá que devolver el préstamo con sus intereses. Así que $(1)$ cubre ambos casos.
Entonces el problema de maximización de la utilidad se plantea como
$$\max_{C_1,C_2} U(C_1,C_2) \\ s.t. C_2 = Y_2 + (1+r)(Y_1-C_1) \tag{2}$$
Podemos insertar la restricción en la función objetivo y maximizar sólo con respecto a $C_1$ . Por tanto, la condición de primer orden es
$$\frac {\partial U(C_1,C_2(C_1))}{\partial C_1} = 0 \tag {3}$$
y la condición de segundo orden es
$$\frac {\partial^2 U(C_1,C_2(C_1))}{\partial C_1^2} < 0 \tag {4}$$
en el punto crítico.
Utilizando la forma funcional específica de la función de utilidad de la pregunta, $ U= 3C_1C_2$ tenemos
$$\frac {\partial U(C_1,C_2(C_1))}{\partial C_1} = 3C_2 - 3C_1\cdot(1+r) $$
$$ = 3[Y_2 + (1+r)(Y_1-C_1)] - 3(1+r)C_1$$
$$ = 3Y_2+ 3(1+r)Y_1 - 6(1+r)C_1 \tag{5}$$
Tenga en cuenta que
$$\frac {\partial^2 U(C_1,C_2(C_1))}{\partial C_1^2} = -6(1+r) <0$$ por lo que se cumple la condición de segundo orden para un máximo.
Configuración $(5)$ igual a cero obtenemos $$ C_1^* = \frac {Y_2}{2(1+r)}+ \frac 12 Y_1 \tag{6}$$
En $(6)$ concluimos que el consumo en el primer periodo nunca caerá por debajo de la mitad de la dotación del periodo, y que es una función negativa del interés. Además, al consumidor le resultará óptimo pedir prestado cuando
$$C_1^* > Y_1 \implies \frac {Y_2}{2(1+r)}+ \frac 12 Y_1 > Y_1$$
$$\implies Y_2 > (1+r)Y_1$$
Utilizando los supuestos numéricos específicos de la pregunta, $Y_1 = 1000, Y_2 = 5000, r=0$ obtenemos $$C_1^* = \frac {5000}{2}+ \frac 12 1000 = 3000 $$
