Suponiendo que
- Disponer de una o varias EDE que describan la dinámica de un activo. $X$ con $t$ -valor $X_t$ ;
- Defina $V$ como un crédito contingente sobre el activo $X$ con $t$ -valor $V_t$ ;
- Defina $N$ como un crédito que puede, pero no necesariamente, estar supeditado al activo $X$ con $t$ -valor $N_t$ ;
- Definir una medida de probabilidad $\mathbb{Q}^N$ asociado al activo $N$ tal que $$ \frac{V_t}{N_t}=\mathbb{E}_t^{\mathbb{Q}^N}\left[\frac{V_T}{N_T}\right] $$ de ahí $N$ se considera numéraire .
entonces el fijación de precios PDE se deduce directamente de la medida que acabas de definir: basta con utilizar el lema de Ito para imponer que el proceso $V_t/N_t$ debe ser un $\mathbb{Q}^N$ -martingale (teorema de la representación martingala). Normalmente, con difusión procesos, esto significa escribir que la parte de variación finita (deriva) debe ser cero(*).
[Ejemplo]
Que el $t$ -valor de un activo subyacente $X$ ser impulsado por la siguiente SDE (difusión) $$ dX_t = \mu(t,X_t) dt + \sigma(t,X_t) dW_t^{\mathbb{Q}^B} $$ y considerar las siguientes reclamaciones contingentes
- $V_t = V(t,X_t)$
- $N_t = N(t) = B_t$ avec $ dB_t = B_t r dt$
Elige $N$ como numéraire introduciendo así la medida de tarificación $\mathbb{Q}^B$ tal que $$ \frac{V_t}{B_t}=\mathbb{E}_t^{\mathbb{Q}^B}\left[\frac{V_T}{B_T}\right] $$ obtenemos, aplicando el lema (bivariante) de Itô:
\begin{align} d\left( \frac{V_t}{B_t} \right) &= \frac{1}{B_t} dV_t - \frac{V_t}{B_t^2} dB_t + \frac{1}{2}(0)d\langle V \rangle_t + \frac{1}{2}\frac{2V}{B_t^3}\underbrace{d\langle B \rangle_t}_{=0} - \frac{1}{B_t^2} \underbrace{d\langle V, B \rangle_t}_{=0} \\ &= \frac{1}{B_t} \left( \frac{\partial V}{\partial t} dt + \frac{\partial V}{\partial X} dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial X^2} \underbrace{d\langle X \rangle_t}_{=\sigma^2(t,X_t)dt} - r V dt \right) \\ &= \underbrace{\frac{1}{B_t} \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial X} \mu(t,X_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial X^2} \sigma^2(t,X_t) - r V \right) dt}_{=\text{Finite Variation Part}} + \frac{1}{B_t} \frac{\partial V}{\partial X} \sigma(t,X_t) dW_t^{\mathbb{Q}^B} \end{align} y poniendo la parte de variación finita a cero se obtiene la conocida EDP de precios: $$ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial X} \mu(t,X_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial X^2} \sigma^2(t,X_t) - r V = 0$$
Normalmente, cambiamos de numéraires (por ejemplo, pasamos de la medida tradicional de riesgo neutro $\mathbb{Q}^B$ a una medida relacionada con el activo subyacente $\mathbb{Q}^S$ ) por conveniencia matemática: a veces es más fácil derivar expresiones de forma cerrada bajo una medida de probabilidad diferente.
En tu caso, no veo directamente las ventajas de pasar a las medidas que mencionas. Así que, efectivamente, es posible, pero probablemente no tenga sentido hacerlo, lo que explicaría la falta de artículos sobre el tema.
(*) Si en lugar de ello asume salto-difusión Sólo hay que tener cuidado, ya que los procesos de salto necesitan ser compensados para emerger como martingales. Puedes echar un vistazo aquí donde se aborda la cuestión con una respuesta muy agradable y completa de Gordon.
