cómo podemos derivar $PIDE$ del modelo de salto-difusión exponencial doble (que conocemos como modelo kou)?

Question

Estoy trabajando en un modelo de difusión de doble salto exponencial (conocido como modelo de Kou) con la siguiente forma, bajo la medida de probabilidad física $P$ : \begin{equation} \frac{dS(t)}{S(t-)}=\mu dt+\sigma dW(t)+d(\sum_{i=1}^{N(t)}(V_i-1)) \end{equation} donde $W(t)$ es un movimiento browniano estándar, $N(t)$ es un proceso de Poisson con tasa $\lambda$ y $\{V_i\}$ es una secuencia de variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas (i.i.d.) no negativas tales que $Y = log(V)$ tiene una distribución exponencial doble asimétrica con la densidad \begin{equation} f_Y(y)=p.\eta_1 e^{-\eta_{1}y}\upharpoonleft_{y\geq 0}+q.\eta_2 e^{\eta_2 y} \upharpoonleft_{y<0},\eta_{1}>1,\eta_{2}>0 \end{equation} donde $p, q \ge 0$ , $p+q = 1$ representan las probabilidades de saltos hacia arriba y hacia abajo.

$$ $$ Al resolver la ecuación diferencial estocástica se obtiene la dinámica del precio del activo: \begin{equation} S(t)=S(0)\exp\{(\mu- \frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma W(t)\} \prod_{i=1}^{N(t)}V_i \end{equation} y también El proceso de comilla de las acciones, $(S_t)_{t \geq 0} $ , impulsado por este modelo, viene dado por: \begin{equation} S_{t}=S_{0}e^{L_t} \end{equation} donde $S_0$ es el precio de las acciones en el momento cero y $L_t$ se define por: \begin{equation} L_t:=\gamma_{c}t+\sigma W_t+\sum_{i=1}^{N_i}Y_i \end{equation} aquí, $\gamma_{c}$ es un término de deriva , $\sigma$ es una volatilidad, $W_t$ es un movimiento browniano, $N_t$ es un proceso de Posesión con intensidad $ \lambda $ , $ Y_i $ es una secuencia i.i.d. de variables aleatorias. $\sigma>0$ en la ecuación de arriba, existe una medida de probabilidad neutral al riesgo $Q$ tal que el proceso descontado $\{e^{-(r-q)} S_t\}_{t \geq 0}$ se convierte en una martingala, donde $ r $ es el tipo de interés y $ q $ es la Entonces, bajo esta nueva medida $ Q $ la tripleta de Levy neutral al riesgo de $L_t$ puede describirse como sigue: \begin{equation*} (\gamma_{c},\sigma,\nu) \end{equation*} donde \begin{align*} \gamma_{c} & = r-q-\frac{1}{2}\sigma^2+ \int_{\mathbb{R}} (e^x-1) \nu(dx) \\ & = r-q-\frac{1}{2}\sigma^2+ \lambda \eta \end{align*} Aquí nos centramos en el caso en el que la medida de Levy está asociada al componente de salto puro y, por tanto, la medida de Levy $ \nu(dx) $ puede escribirse como $ \lambda f(x) dx $ donde la función de peso $ f(x) $ puede adoptar la siguiente forma: \begin{equation} f(x):=p.\eta_1 e^{-\eta_{1}x}\upharpoonleft_{x\geq 0}+(1-p).\eta_2 e^{\eta_2 x} \upharpoonleft_{x<0},\eta_1>1,\eta_2>0 \end{equation}

También en $ \eta = \int_{\mathbb{R}}(e^x-1)f(x) dx $ representa el cambio de precio relativo esperado debido a un salto. Como hemos definido la función de densidad de Levy $ f(x) $ para el modelo de difusión de salto exponencial doble, $ \eta $ se puede calcular como: \begin{equation} \eta= \frac{p \alpha_1}{\alpha_{1}-1}+\frac{(1-p)\alpha_2}{\alpha_2+1}-1 \end{equation}

Esto se encuentra integrando $ e^x $ sobre la línea real estableciendo $ \alpha_1 >1 $ y $ \alpha_{2}>0 $ .

Dejamos que $\tau=T-t$ el tiempo hasta el vencimiento, donde $T$ es el vencimiento de la opción financiera considerada e introducimos $x = log S_t$ El precio logarítmico del activo subyacente. Si $u(x; \tau )$ denota los valores de alguna demanda contingente (americana y europea) sobre $S_t$ cuando $log St = x$ y $\tau = T - t$ entonces es bien conocido, ver por ejemplo, (Cont y Tankov, 2004) que $u$ cumple con lo siguiente $PIDE$ en la región sin ejercicio: \begin{align*} \partial_\tau\, u(x,\tau) & = \frac{1}{2}\sigma^2 \partial_{x}^2 u +(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2-\lambda \eta)\partial_x u-(r+\lambda)u \\ &+ \lambda \int _{\mathbb{R}} u(x+y,\tau) f(y) dy \end{align*} con valor inicial \begin{equation} u(x,0)=g(x):=G(e^x)= \begin{cases} max\{e^x-k,0\}, & \text{call option} \\ max\{k-e^x,0\}, & \text{put option} \end{cases} \end{equation}

mi pregunta es cómo podemos derivar lo anterior $PIDE$ He buscado un montón de artículos pero la mayoría de ellos sólo mencionan el $PIDE$ y hemos dicho que se puede encontrar en el libro de Cont y Tankov y también he buscado en este libro pero no he podido encontrar el Exactamente arriba $PIDE$ .

gracias por la ayuda.

Answer 1

Dejemos que $\{P_t \mid t \geq 0\}$ sea un proceso de Poisson compuesto, donde \begin{align*} P_t = \sum_{i=1}^{N_t} (V_i -1), \end{align*} y $N_t$ es un proceso de Poisson con intensidad $\lambda$ y los tiempos de salto $\tau_i$ , $i = 1, \ldots, \infty$ . Sea $Y_i=\ln V_i$ y $f(x)$ sea la función de densidad. Entonces \begin{align*} P_t - \lambda t E(V_1) &= P_t - \lambda t \int_{\mathbb{R}}(e^x-1)f(x) dx \end{align*} es una martingala. Denotamos por $\eta = \int_{\mathbb{R}}(e^x-1)f(x) dx$ . Además, suponemos que el proceso de precios de las acciones $\{S_t \mid t \geq 0\}$ satisface la SDE \begin{align*} \frac{dS_t}{S_t} = (r-q-\lambda \eta)dt + \sigma dW_t + dP_t, \end{align*} donde $\{W_t \mid t \geq 0\}$ es un movimiento browniano estándar. Entonces \begin{align*} S_t = S_0 \exp\Big(\big(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2 - \lambda \eta \big)t + \sigma W_t + \sum_{i=1}^{N_t} Y_i \Big). \end{align*} Eso es, \begin{align*} d \ln S_t = (r-q-\frac{1}{2}\sigma^2-\lambda \eta)dt + \sigma dW_t + d\sum_{i=1}^{N_t} Y_i. \end{align*}

Dejemos que $X_t = \ln S_t$ y $u(X_t, t)$ sea el precio de la opción en el momento $t$ , donde $0 \leq t \leq T$ . Entonces, por la fórmula de Ito, \begin{align*} u(X_t, t) &= u(X_0, 0) + \int_0^t\partial_t u(X_s, s) ds + \int_0^t\partial_x u(X_{s-}, s) dX_s + \frac{1}{2}\sigma^2 \int_0^t \partial_{xx} u(X_s, s)ds\\ & \qquad +\sum_{s \leq t}\big[u(X_s, s) - u(X_{s-}, s) - \partial_x u(X_{s-}, s)\Delta X_s\big] \quad (\mbox{where } \Delta X_s=X_s - X_{s-})\\ &= u(X_0, 0) + \int_0^t\partial_t u(X_s, s) ds + \int_0^t\partial_x u(X_{s}, s) dX_s^c + \frac{1}{2}\sigma^2 \int_0^t \partial_{xx} u(X_s, s)ds\\ & \qquad +\sum_{s \leq t}\big[u(X_t, t) - u(X_{t-}, t) \big] \quad (\mbox{where } X_t^c = \big(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2 - \lambda \eta \big)t + \sigma W_t)\\ &= u(X_0, 0) + \int_0^t\partial_t u(X_s, s) ds + \int_0^t\partial_x u(X_{s}, s) dX_s^c + \frac{1}{2}\sigma^2 \int_0^t \partial_{xx} u(X_s, s)ds\\ & \qquad +\int_0^t \int_{\mathbb{R}}\big[ u(X_{s-} + y, s) - u(X_{s-}, s))\big]\mu(ds, dy) \quad (\mbox{where } \mu = \sum_{i=1}^{\infty} \delta_{\tau_i, Y_i})\\ &= u(X_0, 0) + \int_0^t\partial_t u(X_s, s) ds + \int_0^t\partial_x u(X_{s}, s) dX_s^c + \frac{1}{2}\sigma^2 \int_0^t \partial_{xx} u(X_s, s)ds\\ &\qquad +\int_0^t \int_{\mathbb{R}}\big[ u(X_{s-} + y, s) - u(X_{s-}, s))\big](\mu(ds, dy) - ds v(dy)) \\ &\qquad +\int_0^t ds\int_{\mathbb{R}}\big[ u(X_{s} + y, s) - u(X_{s}, s))\big]\lambda f(y)dy, \end{align*} donde $v(dy) = \lambda f(y)dy$ . Aquí \begin{align*} M_t = \int_0^t \int_{\mathbb{R}}\big[ u(X_{s-} + y, s) - u(X_{s-}, s))\big](\mu(ds, dy) - ds v(dy)) \end{align*} es una martingala. Como $u(X_t, t) e^{-rt}$ es una martingala, y \begin{align*} d\big(u(X_t, t) e^{-rt}\big) &= e^{-rt}\big[-r u dt + du\big], \end{align*} obtenemos que \begin{align*} &-ru(X_t, t) + \partial_t u(X_t, t) + \big(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2 - \lambda \eta \big)\partial_x u(X_{s}, s) + \frac{1}{2}\sigma^2 \partial_{xx} u(X_t, t) \\ & \qquad\qquad + \int_{\mathbb{R}}\big[ u(X_{t} + y, t) - u(X_{t}, t))\big]\lambda f(y)dy = 0. \end{align*} Eso es, \begin{align*} & \partial_t u(X_t, t) + \big(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2 - \lambda \eta \big)\partial_x u(X_{s}, s) + \frac{1}{2}\sigma^2 \partial_{xx} u(X_t, t) -(r+\lambda)u(X_t, t)\\ & \qquad\qquad + \lambda \int_{\mathbb{R}} u(X_{t} + y, t) f(y)dy = 0. \end{align*}

Answer 2

Empecemos con la idea principal, espero que puedas terminar los cálculos tú mismo. Siempre que quieras derivar una ecuación de precios, intenta el siguiente enfoque: valor descontado de la cartera/opción/derivado debe ser una martingala por razones de no arbitraje. Dado que tiene una dinámica markoviana en las variables $t$ y $S$ se supone que el precio es una función $V(t,S)$ . Lo que hay que hacer es calcular el diferencial de Ito $$ \mathrm d\left(\mathrm e^{-rt}V(t,S_t)\right) = (\dots)\mathrm dt + (\dots)\mathrm dw_t + (\dots)\mathrm d\bar N_t $$ donde $\bar N_t$ es el proceso de Poisson compensado. Los dos últimos términos son martingalas, por lo que el término del primer paréntesis debe ser cero: eso nos da la ecuación de precios. Para el cálculo de este diferencial, y $\bar N_t$ Véase, por ejemplo, el volumen II de Shreve.