Cobertura con volatilidad real: problema para entender las matemáticas que hay detrás del resultado

Question

En este documento . página 3

Obtenemos que el beneficio total a vencimiento es la diferencia de valor entre el precio de la opción con volatilidad real y el de la opción con volatilidad implícita.

He intentado resolver la integral pero no obtengo el mismo resultado. Especialmente no entiendo por qué el valor incremental en ambas opciones se anulan entre sí.

$$e^{r\cdot t_0} \int_{t_0}^T d\left(e^{-r\cdot t}(V^i - V^a)\right) = V^a - V^i$$

He utilizado la expresión de la diferencial para resolver la integral con la esperanza de obtener el mismo resultado, pero me quedo atascado con términos en $dV^i$ y $dV^a$

Recibo

$$ \left(e^{-r\cdot T} - e^{-r.\cdot t_0}\right)\left[ (dV^a - dV^i)/r - (V^a - V^i) \right]$$

Answer 1

La integración es sobre una diferencial completa, lo que significa que podemos escribir:

$$ \int_{t_i}^T df(t) = f(T) - f(t_i)$$

Ahora, $V^i$ y $V^a$ representan el valor "implícito" y "real" de la opción, lo que significa que dependen del tiempo. Esto da:

$$e^{r\cdot t_0} \int_{t_0}^T d\left(e^{-r\cdot t}(V^i - V^a)\right) = e^{-r(T-t_0)} (V^i(T) - V^a(T)) - (V^i(t_i) - V^a(t_i))$$

A continuación, utilizamos el hecho de que en el momento del vencimiento el valor de las opciones está completamente determinado por el precio de las acciones, y es independiente de la volatilidad. Es decir: $V^i(T) = V^a(T)$ . Lo que queda es:

$$e^{r\cdot t_0} \int_{t_0}^T d\left(e^{-r\cdot t}(V^i - V^a)\right) = V^a(t_i) - V^i(t_i) = V^a - V^i$$