Interpretación de la correlación

Question

Tengo dos movimientos brownianos geométricos (GBMs) conducidos por el mismo movimiento Brownin subyacente, a saber \begin{align*} S_t^1 = S_0^1\exp\left(\left(\mu_1 - \frac{\sigma_1^2}{2}\right)t + \sigma_1 W_t\right), \\ S_t^2 = S_0^2\exp\left(\left(\mu_2 - \frac{\sigma_2^2}{2}\right)t + \sigma_2 W_t\right). \end{align*}

La correlación teórica entre estos dos procesos en el tiempo $t$ es $$ Corr(S_t^1, S_t^2) = \frac{\exp(\sigma_1 \sigma_2 t) - 1}{\sqrt{(\exp(\sigma_1^2t) - 1)(\exp(\sigma_2^2t) - 1)}}. $$

Por ejemplo, dejar que $\sigma_1 = 0.15$ y $\sigma_2 = 0.1$ , una parcela de $Corr(S_t^1, S_t^2)$ para $0 < t \leq 10$ parece

Una simulación de los procesos $S_t^1$ y $S_t^2$ en $0 \leq t \leq 10$ utilizando el mismo $\sigma_1$ y $\sigma_2$ y dejar que $\mu_1 = 0.02$ , $\mu_2 = 0.1$ , $S_0^1 = 30$ y $S_0^2 = 40$ parece

Sin embargo, cuando utilizo la función de MATLAB corr(S_1, S_2) Obtengo que la correlación de esta serie temporal en particular es corr(S_1, S_2) = 0.6428.

Así que existen estas interpretaciones de la correlación: la correlación de dos variables aleatorias en un momento dado, dado por $Corr(S_t^1, S_t^2)$ y la correlación de dos series temporales calculado por corr(S_1, S_2) . Estoy tratando de conciliar la diferencia entre ambos, y agradecería una explicación sólida.

Answer 1

La segunda no es una correlación en absoluto. Para que haya correlación es necesario tener varias realizaciones de la misma cosa, es decir, varias observaciones de la misma variable aleatoria, por lo que todas las realizaciones deben extraerse de la misma distribución. La serie $S_i$ no es una observación de la misma variable aleatoria, ya que contiene valores de activos para diferentes momentos, por lo que, por supuesto, la distribución es diferente. Para calcular la correlación empírica, basta con muestrear ambas series temporales varias veces hasta el momento $t$ y sólo se toma el último valor obtenido para calcular la correlación.

Answer 2

La respuesta proporcionada por Ulises es básicamente correcta. Para una época determinada $t$ la correlación en $t$ es la "correlación de términos", que puede calcularse mediante realizaciones en el tiempo $t$ .

Las series temporales generadas a partir de los dos procesos no pueden utilizarse para estimar la correlación temporal. Sin embargo, pueden utilizarse para estimar la correlación entre los movimientos brownianos impulsores, basándose en los retornos logarítmicos. Obsérvese que los retornos logarítmicos conducen a incrementos de los movimientos brownianos impulsores, que se suponen independientes, y el retorno logarítmico de los valores históricos puede tratarse como realizaciones independientes.