Fijación de precios cuando el arbitraje es posible a través de Probabilidades Negativas o algo más

Question

También se pregunta ahora por aquí: ¿Es justo en una clase introductoria de cálculo estocástico/precios de derivados preguntar por el precio cuando se viola la ausencia de arbitraje?

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Supongamos que tenemos un modelo general de mercado de un período que consiste en $d+1$ activos y $N$ estados.

Utilizar una cartera de réplica $\phi$ Determinar $\Pi(0;X)$ el precio de una opción de compra europea, con pago $X$ en el activo $S_1^2$ con precio de ejercicio $K = 1$ dado que

$$S_0 =\begin{bmatrix} 2 \\ 3\\ 1 \end{bmatrix}, S_1 = \begin{bmatrix} S_1^0\\ S_1^1\\ S_1^2 \end{bmatrix}, D = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 2 & 4\\ 0.8 & 1.2 & 1.6 \end{bmatrix}$$

donde las columnas de $D$ representan los estados de cada activo y las filas de D representan los activos de cada estado

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Lo que he probado:

Lo calculamos:

$$X = \begin{bmatrix} 0\\ 0.2\\ 0.6 \end{bmatrix}$$

Si resolvemos $D'\phi = X$ obtenemos:

$$\phi = \begin{bmatrix} 0.6\\ 0.1\\ -1 \end{bmatrix}$$

Parece que el precio de la opción de compra europea $\Pi(0;X)$ viene dado por el valor de la cartera de réplica

$$S_0'\phi = 0.5$$

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Por un lado, si intentáramos ver si hay arbitraje en este mercado viendo si un vector de precios estatal $\psi$ existe resolviendo $S_0 = D \psi$ obtenemos

$$\psi = \begin{bmatrix} 0\\ -0.5\\ 1 \end{bmatrix}$$

Por lo tanto, no existe un vector de precios estatales estrictamente positivo $\psi$ s.t. $S_0 = D \psi$ . Por "el teorema fundamental de la fijación de precios de los activos (o el teorema fundamental de las finanzas o 1.3.1" aquí ), existe arbitraje en este mercado.

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Por otro lado, el precio de $0.5$ parece ser confirmado por:

$$\Pi(0;X) = \beta E^{\mathbb Q}[X]$$

donde $\beta = \sum_{i=1}^{3} \psi_i = 0.5$ (suma de elementos de $\psi$ ) y $\mathbb Q$ se supone que es la medida martingala equivalente dada por $q_i = \frac{\psi_i}{\beta}$ .

Así, tenemos

$$E^{\mathbb Q}[X] = q_1X(\omega_1) + q_2X(\omega_2) + q_3X(\omega_3)$$

$$ = 0 + \color{red}{-1} \times 0.2 + 2 \times 0.6 = 1$$

$$\to \Pi(0;X) = 0.5$$

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Supongo que $\therefore$ que no podemos determinar el precio de la llamada europea utilizando $\Pi(0;X) = \beta E^{Q}[X]$ porque no existe una medida martingala equivalente $\mathbb Q$

¿Cuál es el veredicto? ¿Podemos decir que el precio es de 0,5? ¿Cómo podemos fijar el precio aunque haya arbitraje? ¿Cuál es la interpretación de 0,5?

Answer 1

1. No se pueden utilizar probabilidades negativas en este contexto. Cuando no hay una medida de probabilidad única, no puede haber un precio único. Sólo se sabe que está en el intervalo [0, 0,6], si se quiere estrechar este intervalo hay que hacer más suposiciones/ajustes de entrada
2. Estoy de acuerdo con tu conclusión de que no hay una medida de probabilidad adecuada. Pero no estoy seguro de su cálculo. En un mundo de 3 estados, sólo tienes 2 variables (probabilidades de 2 estados de tu elección), la probabilidad del tercer estado se puede determinar a partir del hecho de que la suma de probabilidades es $1$ - ¡parece que no se utiliza este hecho! En su caso, usted tiene 3 activos, por lo tanto no hay arbitraje 3 ecuaciones. ¡Resolver 3 ecuaciones con 2 variables casi siempre falla! Tendría sentido introducir la tercera variable, el tipo de interés. Que la probabilidad de estado $1$ sea $p$ la probabilidad del estado $3$ sea q y el tipo de interés sea $r$ . Así, para los activos $1$ y $3$ tenemos

$p + 2(1 - p - q) + 3q = 2(1+ r)$ y $0.8 p + 1.2(1-p-q) + 1.6 q = 1+r$

lo que equivale a $q-p=2r$ y $0.8(q-p) +0.4 = 2r$ esto implica que $q-p=2$ que no tiene solución si $p,q \in [0;1]$ ¡!

Answer 2

Creo que no hay un precio único si no puedes ponerte en corto. Digamos que, en lugar de comprar la opción se gastó 0,5 en una media unidad del activo $S^2_1$ Este activo paga $[0.4, 0.6, 0.8]$ que domina estocásticamente la opción de primer orden. Así que, independientemente de sus creencias probabilísticas sobre los estados, en ese escenario nunca pagaría $0.5$ para la opción que paga menos en todos los estados. Esto sugiere que el precio correcto es menor que $0.5$ . Del mismo modo, comprar $0.25$ unidades del $S^0_1$ activo o $0.167$ unidades del $S^1_1$ El activo también dominaría estocásticamente la opción. De hecho, porque para $0.375$ unidades de activo $S^1_2$ que cuesta el $0.375$ , aún puedes tener un activo que te pague $[0.3, 0.45, 0.6]$ parece poco probable que el precio pueda ser tan alto como $0.375$ . El activo 0 implica un precio inferior a $0.4$ y el activo 1 a continuación $0.45$

Un poco de código python para resolver:

import numpy as np
S0 = np.array([[2],[3],[1]])
D = np.array([[1,2,3], [2,2,4], [0.8, 1.2, 1.6]])
X = np.array([[0.0],[0.2],[0.6]])
phi = np.dot(np.linalg.inv(D.transpose()), X)
print('The weights of the portfolio that replicates payoff X are: \n', phi)
P_X = np.dot(S0.transpose(), phi)
print('With a price: ', P_X)
print('Normalizing to pay a fixed price P_X for each of the three assets, what payoffs can you get?')
D_norm = D/(2*S0)
print(D_norm)
print('Notice that all three first order stochastically dominate the option for a price of: ', P_X)
print(D_norm - X.transpose())
print('Using each of the base assets, what\'s the minimum quantity that dominates?')
D_relative = X.transpose() / D
print(D_relative)
Min_dominating_fraction = np.max(D_relative,axis=1)
print('Minimum fraction of each of the assets that dominates X\n', Min_dominating_fraction)
P_Min_dominating_fraction = S0.transpose() * Min_dominating_fraction 
print('At prices of: ', P_Min_dominating_fraction)
print('Therefore the option price should be less than: ', np.min(P_Min_dominating_fraction))

Este código no detalla el precio de la opción, sólo muestra mis cálculos para el párrafo anterior. Creo que el precio real de esta opción sería en realidad cero si se permite la venta en corto. Si se compran tres unidades del activo $S^2_0$ y corta una unidad de $S^1_0$ se obtiene un activo con pagos $[ 0.4, 1.6, 0.8]$ . Esta posición no cuesta nada, tiene pagos positivos para todos los estados y domina estocásticamente de primer orden la propia opción. Dado que es posible hacer una cartera mejor que la réplica a coste cero, el precio debería ser cero. ¡Oh, la locura que se produce cuando hay arbitrajes!

Answer 3

Creo que el coste de la opción es cero si se permite la venta en corto porque si compramos 3 unidades del activo 2 y vendemos en corto 1 unidad del activo 1, obtenemos un beneficio de:

\begin{bmatrix} 0.4\\ 1.6\\ 1.8 \end{bmatrix}

que domina el estado la opción.