¿Por qué tomamos el logaritmo para los que tienen aversión al riesgo?

Question

Soy un estudiante de matemáticas que está aprendiendo un poco de teoría de juegos. Se dan muchos ejemplos dentro de un entorno muy económico y hasta saber que pude seguir la mayor parte porque eran muy básicos y aprendí algo de economía básica en el instituto.

Ahora me he encontrado con algunos ejemplos en los que un jugador es neutral al riesgo mientras que el otro es reacio al riesgo (por ejemplo, la compañía de seguros frente al cliente). Digamos que tenemos resultados $(A_i)_{i \in I}$ que ocurren con probabilidades $(p_i)_{i \in I}$ y que tienen recompensas $(w_i)_{i \in I}$ . Parece que la recompensa esperada para los jugadores neutrales al riesgo es simplemente

$$\sum_{i \in I} p_i w_i$$

mientras que para el jugador con aversión al riesgo aplicamos el logaritmo natural y obtenemos

$$\sum_{i \in I} p_i \log w_i.$$

En los apuntes de clase que estoy leyendo, no he encontrado ninguna justificación para esto y supongo que se trata en otras clases del plan de estudios estándar de cualquier estudiante de economía.

Pregunta 1: ¿Por qué tomamos el logaritmo? (matemáticamente y económicamente)

Pregunta 2: ¿Existen más "medidas" de actitud de riesgo? Si es así, ¿cómo cambia la remuneración esperada?

Answer 1

Demos un paso atrás. En general, las funciones de utilidad son funciones (monótonas crecientes) $f(w)$ que convierten la riqueza en utilidad. Es decir, la entrada $w$ es el dinero y la producción $f(w)$ es la utilidad. Si tenemos una distribución $\vec{p}$ sobre los posibles resultados de riqueza $w$ Entonces, mi utilidad esperada es $\mathbb{E}f(w) = \sum_i p_i f(w_i)$ .

Ahora bien, ¿qué es la aversión al riesgo? Intuitivamente, significa que prefiero un cierta resultado a un incierta uno aunque tengan la misma expectativa.

Así, un aversión al riesgo La función de utilidad se define como una cóncavo función de utilidad $f$ . Esto es natural debido a La desigualdad de Jensen : si $f$ es cóncava, entonces para cualquier distribución sobre los resultados de $w$ tenemos $\mathbb{E}f(w) \leq f(\mathbb{E} w)$ . En otras palabras, prefiero conseguir $\mathbb{E}w$ con certeza en lugar de una cantidad incierta de dinero con esa expectativa.

Volviendo a su pregunta (1), usted está comparando la utilidad esperada de dos funciones de utilidad diferentes: $f(w) = w$ y $f(w) = \log w$ . Esta última es una función de utilidad cóncava (por tanto, con aversión al riesgo) muy bonita y práctica. Pero es sólo un ejemplo (aunque importante) de funciones de utilidad con aversión al riesgo.

Y volviendo a tu pregunta (2), para obtener la aversión al riesgo, cualquier función cóncava sirve. Pero cuanto más cóncava, más aversión al riesgo. Mientras tanto, riesgo neutro deben satisfacer $\mathbb{E}f(w) = f(\mathbb{E} w)$ , por lo que es cualquier función "afín" de la forma $f(w) = a\cdot w + b$ . Por último, las funciones de utilidad de búsqueda de riesgo son convexas (y se estudian con menos frecuencia porque parecen menos naturales).

Answer 2

Pregunta 1: ¿Por qué tomamos el logaritmo? (matemáticamente y económicamente)

La función logarítmica es una función cóncava, por lo que un agente preferirá obtener la utilidad de la retribución media a la media de las utilidades de la retribución real. La utilidad lineal no es cóncava, por lo que es indiferente entre estas dos ofertas.

Fuente: Aversión al riesgo

Pregunta 2: ¿Existen más "medidas" de actitud de riesgo? Si es así, ¿cómo cambia la remuneración esperada?

Compruebe el Medidas Arrow-Pratt de aversión al riesgo absoluta y relativa . La utilidad logarítmica es un caso especial de cuando el agente tiene una medida Arrow-Pratt de aversión al riesgo relativo $\rho=1$ . En realidad, el logaritmo resulta ser una parametrización de la aversión relativa al riesgo bastante tolerante, coherente con las pruebas de laboratorio, pero en desacuerdo con algunas estimaciones financieras y macroeconómicas.