Autocovariance de incrementos de un semimartingale

Question

Decir que $X_t$ es un Itō proceso con \begin{ecuación} dX_t = \mu_t dt + \sigma_t dW_t \end{ecuación} donde $\mu_t$ y $\sigma_t$ se adaptan los procesos.

Es cierto que siempre \begin{ecuación} E[dX_t dX_s] = 0, \quad t\neq s \end{ecuación} es decir, los incrementos de $X_t$ siempre son independientes? A primera vista, yo diría que sí, desde $dX_t dX_s \propto dtd$ que se integren a cero, pero hay algo más que se puede decir acerca de $dX_t dX_s$?

Answer 1

**por favor me corrija si la matemática es malo!!

Creo que al descomponer los productos $E(dX_tdX_s)$, tenemos la $información$, $dtdW_s$ términos que todo resulta ser 0. Sale $E(dW_tdW_s)$ que viene a compartir el mismo proceso de wiener $dW = \sqrt{dt}Z$, donde Z sigue una N(0,1).

Sin embargo, tenga en cuenta que ya estamos calculando expecation, $dW_t$ y $dW_s$ es básicamente la misma cosa en virtud de la integración, ya que ambos están denotando un cambio de dt. así que $E(dW_tdW_s)$ es el mismo que $E(dW_tdW_t)$, lo que equivale a 0.

Por lo tanto parece que la ecuación siempre es igual a 0.