Entiendo que podemos utilizar la opción de que los precios implican volatilidades y en última instancia, implica un riesgo de densidad neutra. También entiendo que esta implícita la densidad no es la misma como el "mundo real de la densidad". Sin embargo, el riesgo neautral densidad serán a menudo muestran ciertas formas/regularidades/irregularidades que corresponden fuertemente del "mundo real" preocupaciones. Por ejemplo, alrededor de las ganancias o eventos donde hay una probabilidad de saltar a la 1 de dos estados/precios, la implícita riesgo de densidad neutra será bimodal. Así que hay una conexión. Pero ¿tiene sentido mirar el implícita de la densidad y hacer una declaración como "la opción de los precios implican un 23% de probabilidades de que el subyacente se mueva por debajo de los 100" o "la opción de los precios implican un 33% de probabilidad de que habrá un salto más alto después de las ganancias"? ¿Cuál es la correlación entre densidades implícitas/probabilidades y las declaraciones y evaluaciones de este tipo?
Respuesta
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Explicaré cómo se puede estimar el (implícita) del mundo real función de densidad de (observado) opción de precios. Después de haber encontrado este mundo real, densidad, a continuación, puede calcular todo tipo de probabilidades y cuantificar el mercado de la expectativa de los precios en el futuro.
Recordar, en primer lugar que (estilo Europeo) opciones tienen un precio como el riesgo-neutral expectativa de descuento en pago. Por lo tanto,
\begin{align*} C(S_0,K,T) &= e^{-rT} \mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[ (S_T-K)^+\derecho] \\ &= e^{-rT} \int_\mathbb{R} (x-K)^+ f_{S_T}^\mathbb{Q}(x)\ \mathrm{d}x \\ &= e^{-rT} \int_\mathbb{R} (x-K)^+ \frac{f_{S_T}^\mathbb{Q}(x)}{f_{S_T}^\mathbb{P}(x)}\ f_{S_T}^\mathbb{P}(x)\mathrm{d}x \\ &= \mathbb{E}^\mathbb{P}\left[ M_T (S_T-K)^+\derecho], \end{align*} donde la variable aleatoria $M_T(x)=e^{-rT}\frac{f_{S_T}^\mathbb{Q}(x)}{f_{S_T}^\mathbb{P}(x)}$ es el factor de descuento estocástico (SDF) también conocido como la fijación de precios del núcleo.
De una manera más formal, se puede decir $C(S_0,K,T) = \mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[ \frac{1}{B_T}(S_T-K)^+\derecho]= \mathbb{E}^\mathbb{P}\left[ \frac{1}{B_T}\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}(S_T-K)^+\derecho]$ y se puede identificar el SDF como el Radón Nikodym derivados, $M=\frac{1}{B_T}\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}$, lo cual explica el nombre de "factor de descuento estocástico".
Como usted dijo, el riesgo de densidad neutra $f_{S_T}^\mathbb{Q}$ se puede aproximar por la opción de los precios, el enfoque más sencillo es el Breeden y Litzenberger (1978) resultado \begin{align*} f_{S_T}^\mathbb{Q}(x) &= e^{rT}\frac{\partial^2 C(S_0,K,T)}{\partial K^2}\bigg|_{K=x}. \end{align*} Por supuesto, hay problemas acerca de la obtención de un conjunto de arbitraje de opción libre de los precios y la opción de precios con muy baja/alta huelgas que son necesarios para estimar las colas de $f_{S_T}^\mathbb{Q}$ con precisión.
Suponga ahora que usted conoce la distribución de la terminal de precio de las acciones bajo el riesgo-neutral de la medida $\mathbb{Q}$. Si usted también sabía que el SDF, tendría que ser hecho y el mundo real de la densidad está dada por $f_{S_T}^\mathbb{P}(x)=e^{-rT}\frac{f_{S_T}^\mathbb{Q}(x)}{M_T(x)}$.
Por desgracia, no sabemos el verdadero SDF. Hay muchos modelo de valuación de activos de proponer y la obtención de todo tipo de SDFs. El caso más simple emplea un poder de la función de utilidad de $u(x) = \frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma}$ de $\gamma\neq1$ (en El caso de que $\gamma=1$ rendimientos de registro-utilidad). Una propiedad clave es que bajo una función de utilidad, el riesgo relativo de aversión coeficiente de $x\frac{u"(x)}{u'(x)}=\gamma$ es constante. El SDF es proporcional a la utilidad marginal $u'(x)=x^{-\gamma}$.
Por lo tanto, \begin{align*} f_{S_T}^\mathbb{P}(x) &= C\cdot x^{\gamma}f_{S_T}^\mathbb{Q}(x). \end{align*} La constante $C>0$ (que capta el factor de descuento $e^{-rT}$ y una constante de proporcionalidad) necesita para asegurarse de que $f_{S_T}^\mathbb{P}$ se integra a uno. Así, por fin llegamos a \begin{align*} f_{S_T}^\mathbb{P}(x) &= \frac{x^{\gamma}f_{S_T}^\mathbb{Q}(x)}{\int_\mathbb{R} x^{\gamma}f_{S_T}^\mathbb{Q}(x) \mathrm{d}x}. \end{align*}
Un par de notas
- Supongamos que usted sabe $f_{S_T}^\mathbb{Q}$ en forma cerrada a partir de un modelo. Usted probablemente todavía necesita para resolver numéricamente la integral en el denominador... a Menos que usted asuma $f_{S_T}^\mathbb{Q}$ es la log-normal o la mezcla de log-normales o algo fácil. Si, no obstante, tomar el Black Scholes modelo, se puede calcular de una forma cerrada mundo real de la densidad. Si usted hace una estimación de $f_{S_T}^\mathbb{Q}$ de observados opción de precios, que, por supuesto, no tienen otra opción que calcular la integral numéricamente.
- Menor de los supuestos de ausencia de arbitraje y la existencia de una constante de la tasa libre de riesgo. Más problemática es la CRRA asunción. El más complicado (realista) de su SDF es, el más complicado de su mundo real densidad.
- Bakshi, Kapadia y Madan (2003) dan un ejemplo de cómo el poder de la utilidad de la función se utiliza para estimar mundo real densidades. Taylor libro `los Precios de los Activos de la Dinámica, la Volatilidad y la Predicción", incluye un capítulo sobre la estimación del riesgo-de densidad neutra y transferirlo a un mundo real de la densidad.
