Cómo calcular la distorsión de la función para el CVaR?

Question

Puede alguien darme algunas pistas en cuanto a cómo probar que

$$g(x) = \begin{casos} \frac{x}{1-\alpha}, &0 \leq x \leq 1-\alpha\\ 1 , &1-\alpha \leq x \leq 1 \end{casos}$$

Es la distorsión de la función que corresponde a $\text{CVaR}_\alpha(X)$?

Aquí defino $$\text{CVaR}_\alpha(X) = \frac{1}{\alpha} \int_{0}^{\alpha} F_X^{-1}(u) du$$ Para obtener más detalles, consulte la reducción prevista de la Wikipedia .Por supuesto, la inversa de la que se supone debe ser entendida como la inversa generalizada.

Mi problema es que un cálculo directo no parece funcionar para mí. Tal vez me estoy perdiendo algún truco.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Yo lo he solucionado yo. La clave fue darnos cuenta de que para $X \geq 0$ y $S_X(t) = \mathbb{P}(X>t)$

$$ \int_0^\infty S(t) dt = \int_0^1 F_X^{-1}(u) du = \mathbb{E}\left[X \right].$$

Este es elegantemente explicó en la Caracterización de $\mathbb{E}$.

Ahora esta relación puede ser extendido por toda la recta real, por lo tanto

$$ \int_0^1 F_X^{-1}(u) du = \int_0^\infty S_X(t) dt + \int_{-\infty}^0 S_X(t) -1 dt$$.

El resto de la prueba es una cuestión de cambio de las variables en las funciones de los indicadores y teniendo en cuenta los dos casos (a) $S_X(t) \geq 1-\alpha$ y (b) $S_X(t) \leq 1-\alpha$.

Para un cálculo directo @CaffeRistretto tipp fue muy útil. Así que lo mejor es empezar con la definición de CVaR y trabajar hacia la distorsión de la función.

Answer 2

Tal vez probar que

$$CVaR_\alpha (X) = \frac{1}{\alpha} \int_0^\alpha F^{-1} (_X(u) du$$

tiene la distorsión de la función

$$ g(u)= \begin{casos} \frac{u}{\alpha}, \quad \; u \leq \alpha \\ 1, \qquad u > \alpha\end{casos}$$

sería más fácil?