fijación de precios mediante el modelo dupire de volatilidad local

Question

Estoy leyendo sobre el modelo de volatilidad local de Dupire y tengo una idea aproximada de la derivación. Pero no puedo conciliar la superficie de volatilidad local a la fijación de precios utilizando el proceso de movimiento browniano geométrico. Si no me equivoco el proceso $dS=rSdt+\sigma(S;t) S dX$ dada la condición final $(S-K)^{+}$ producirá valores de opciones correctos dado algún strike. En otras palabras, cada vez que cambie el strike $K$ Debería obtener los valores de las opciones coherentes con el mercado (o muy próximos a ellos). ¿Es esto cierto? ¿Cómo sabe mi modelo que he cambiado mi strike?

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2016/11/19:

Todavía no estoy seguro de haberlo entendido bien.

Si tengo una matriz de precios de opciones por strikes y vencimientos, entonces debería ajustar alguna función 3D a estos datos. Esto se puede hacer mediante interpolación/extrapolación o simplemente encontrando un polinomio de 3er grado. Yo hice esto último.

La fórmula de la volatilidad instantánea es $\sigma(E;T)=\sqrt{\frac{\frac{\partial V}{\partial T}+rE\frac{\partial V}{\partial E}}{\frac{1}{2}E^2\frac{\partial^2 V}{\partial^2 E}}}$

Si quiero realizar una simulación Monte Carlo debo evaluar $\sigma(E;T)$ en cada paso temporal. En cada paso temporal simulo el precio actual de las acciones $S_c$ y pretendo que lo sea $E$ así que evaulo $\sigma(E;T)$ en $E=S_c; T=t$ . ¿Es correcto? Si es así, entonces $\frac{\partial V}{\partial T}$ es realmente un cambio instantáneo del precio de la opción que tiene el strike $S_c$ y proviene de Matrix de los precios de las opciones. ¿Es esto correcto? Así que en realidad cualquier proceso estocástico $dS=rSdt+\sigma(S;t) S dX$ debe tener la misma difusión para todas las Huelgas. Si tienen exactamente la misma difusión, la función de densidad de probabilidad será la misma y, por tanto, la volatilidad realizada será exactamente la misma para todas las opciones, pero los datos del mercado diferencian la volatilidad entre el precio de ejercicio y el precio de la opción. Si tengo una volatilidad realizada diferente de la implícita, no hay forma de que obtenga los mismos precios de opción que el mercado.

Por ejemplo, para una opción con strike K=100 el vol realizado debería ser del 20% (esto se deduce de los precios cotizados de la opción), y para una opción con strike K=110 el vol realizado debería ser del 15%, pero en realidad con la fórmula dupire será el mismo para ambas. ¿Podrían aclararlo?

Editar 2016/11/21: Ok chicos, creo que ahora lo entiendo. He realizado la simulación MC y he obtenido los números correctos. De hecho el pdf será el mismo pero permitirá replicar la superficie vol implícita. Gracias por la explicación, fue útil.

Answer 1

La idea es la siguiente: Supongamos que observamos un continuo sin arbitraje de precios de opciones de compra europeas plain vanilla $C_0(T, K)$ para todos los vencimientos y huelgas. Para cualquier vencimiento fijo $T$ esto implica una función de densidad de probabilidad para los correspondientes precios terminales de los activos a través de la conocida relación

\begin{equation} f_{S_T}(K) = e^{r T} \frac{\partial^2 C}{\partial K^2}(T, K). \end{equation}

La volatilidad local $\sigma(K, T)$ es la única función de difusión determinista tal que las densidades de probabilidad implícitas en el modelo y en el mercado coinciden para todos los vencimientos.

El pago de un crédito contingente europeo sólo depende del precio del activo al vencimiento. En consecuencia, cualesquiera dos modelos cuyas densidades de probabilidad implícitas coincidan para el vencimiento del interés coinciden en los precios de todos los créditos contingentes europeos. Así pues, por construcción, el modelo de volatilidad local coincide con los precios de mercado de todos los créditos contingentes europeos sin que la dinámica del modelo dependa del strike o de la función de pago en la que se esté interesado.

Editar 21 de noviembre de 2016:

Así es como entiendo tu primera edición: Escribes que como sólo hay un proceso de precios, hay una desviación típica implícita fija por vencimiento. A continuación, argumentas que, en consecuencia, no podemos replicar los precios de todas las opciones europeas, ya que el mercado presenta una volatilidad implícita dependiente del precio de ejercicio.

Aunque su afirmación es correcta, su conclusión no lo es. La volatilidad implícita (Black/Scholes) no sólo refleja la desviación típica de los rendimientos, sino también todas las desviaciones de una distribución normal. Es decir, una

Answer 2

• Reunir los datos, consistentes en una matriz de precios de comilla de las opciones $\{C(T_i,K_j^i)\}_{i=1}^{N}$ donde $j=1,2,...,M_i$ junto con la curva de rendimiento para determinar $r$ .
• Interpolar y extrapolar estos precios (o, más probablemente, las correspondientes volatilidades implícitas Black-Scholes) para producir una superficie de volatilidad suave. $C$ .
• Calcule $\widehat{\sigma}(T, F)$ de la fórmula de Dupier y calcular el $\sigma(T,S).$
• El modelo de precios viene determinado por $$dS_t=\mu(t)S_tdt+\sigma(t,S_t)S_tdW_t.$$
• Ahora podemos calcular los precios de las opciones exóticas por métodos de diferencias finitas o Monte Carlo.

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Nota $$\mu(t)=r_t-q_t$$ et $$F_t=S_t\exp\left(\int_{t}^{T}\mu(s)ds\right)$$