Necesidad del Teorema de la Representación Binomial

Question

En algunos textos (por ejemplo, Baxter & Rennie, Shreve I) el modelo binomial se construye primero utilizando el argumento habitual de inducción hacia atrás, y se concluye que por no arbitraje el tiempo $t$ valor de una reclamación con el tiempo $T$ pago $X$ es $\mathbb{E}_\mathbb{Q}[\frac{B_t}{B_T} X|\mathcal{F}_t]$ , donde $B_t$ es el precio de un bono al contado en el momento $t$ . En otras palabras, dado que determinamos el precio del reclamo en cada paso, el precio de la cartera que replica ese reclamo debe ser el precio del reclamo en cada paso, si no hay arbitraje. No se mencionan las estrategias de autofinanciación (SFS) ni el teorema de la representación binomial (BRT), sino que se construye explícitamente una estrategia de cobertura que replica el resultado de la demanda.

Sólo después de haber determinado este precio parece que se introduce el concepto de SFS, invocando la TRE para demostrar su existencia. A continuación, utilizamos un argumento ligeramente diferente para llegar al mismo precio: el valor de un SFS que replica $X$ es $\mathbb{E}_\mathbb{Q}[\frac{B_t}{ B_T} X|\mathcal{F}_t]$ por el BRT, y porque se trata de un SFS que replica $X$ este debe ser el precio de la demanda, si no es un arbitraje.

Así que tenemos dos enfoques distintos para llegar a la misma conclusión. Mi pregunta es, ¿qué propósito tiene la BRT en el modelo binomial? ¿Sólo sirve para construir la intuición del teorema de la representación de la martingala (MRT) en modelos de tiempo continuo, donde la construcción explícita de la estrategia de cobertura no es tan clara?

Si es así, parece que la BRT es específica del modelo binomial, mientras que la MRT es libre de modelo. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Creo que he resuelto esto por mí mismo, déjame saber tu opinión.

El argumento de inducción hacia atrás para llegar a un precio es una construcción muy explícita de una estrategia de réplica. Yo lo veo como un "primer intento" de fijar el precio de las opciones utilizando un modelo concreto. Cada paso es muy explícito, y hay menos espacio para la confusión sobre por qué este debe ser el precio correcto. De nuevo, no se mencionan las estrategias de autofinanciación (SFS) y, por tanto, no se menciona el teorema de la representación binomial (BRT).

Entonces, sólo después de haber determinado el precio de no-arbitraje podemos dar una segunda pasada a lo que hemos hecho. Es como si dijéramos: "Sé que ya hemos construido explícitamente esta estrategia, y ya hemos determinado el precio de no arbitraje, pero vamos a definir estas cosas llamadas martingalas y veremos que podemos reformular lo que hemos hecho en un lenguaje diferente: tú me encuentras un proceso binomial que sea una martingala y yo podré representar cualquier otra martingala en términos de ella mediante la BRT. Entonces, después de definir una SFS, verás que las SFS existen a través de la BRT, y que el precio debe darse de nuevo como la expectativa descontada". Podemos entonces introducir el Teorema Fundamental de la Valoración de Activos.