La intuición de Precio de las Acciones Numeraire la Deriva

Question

Me gustaría preguntar si hay una intuición de la deriva del precio de procesos en el marco del Stock numeraire.

Me parece intuitivo que la martingala medida en el Mercado de Dinero numeraire induce a la deriva "r" para todos los procesos (a través de la correspondiente cambio de la medida): con el dinero de la capitalización de mercado de forma continua en la tasa "r", a todos los precios a la deriva en esta tasa "r", de lo contrario el precio de procesos descontado por el mercado de dinero numeraire no sería martingales (es decir, cualquier precio proceso que no deriva en "r" daría lugar a arbitraje entre Spot y Forwards, es decir, no sería miss-los precios de los Forwards bajo el mercado de dinero numeraire si el precio de proceso no deriva en "r").

Mismo se aplica para el Descuento de los bonos numeraire bajo determinista tasas (porque el Vínculo numeraire bajo determinista tasas resulta ser el mercado de dinero numeraire escala por una constante).

Sin embargo, no he logrado construir razonamiento similar para el precio de las Acciones numeraire.

Sabemos que el precio de las Acciones en proceso en virtud del Stock numeraire es:

\begin{align*} \frac{dS}{S} &= rdt + \sigma dW_t\\ &=\big(r+\sigma^2\big)dt + \sigma d \widehat{W}_t. \end{align*}

¿Por qué el precio de las Acciones numeraire inducir a la deriva:

\begin{align*} &\big(r+\sigma^2\big) \end{align*}

¿Por qué (intuitivamente) ser capaz de pedir prestado a la tasa de la población significa que el precio de procesos debe tener esta deriva?

Muchas gracias,

Answer 1

Como principio general, yo estaría cauteloso de económica o financiera de las interpretaciones de cambio de la medida de las técnicas. El cambio de numéraires es simplemente una herramienta matemática para facilitar la fijación de precios, véase, por ejemplo, la última parte de esta respuesta. Sin embargo, aquí está mi opinión sobre tu pregunta.

Pensar en un numéraire ya que la base de activos financieros de la economía, es decir, un almacén de valor. En la vida real, usted puede poner su dinero en una cuenta de depósito o una cuenta de mercado monetario. Ahora, estos son considerados libres de riesgo (o al menos, se supone que), de ahí que sólo el rendimiento de una tasa libre de riesgo $r$ sin retorno de la volatilidad.

Considere una economía en la que la base de activos financieros es una acción de $S$: por ejemplo, cuando su empleador le paga su sueldo cada mes, en vez de ponerlo en una cuenta de depósito, compra de acciones para usted. En un Black-Scholes configuración, tenga en cuenta que: $$\begin{align} V^S\left(\frac{dS_t}{S_t}\derecho)&=V^S\left(\sigma d\widehat{W}_t\derecho) \\ &=E^S\left(\sigma^2d[\widehat{W},\widehat{W}]_t\derecho) \\[3pt] &=\sigma^2dt \end{align}$$ Por lo tanto la variación de su retorno es de $\sigma^2$ por unidad infinitesimal de tiempo. Por lo tanto, si el stock es el principal almacén de valor de su economía, es comprensible que los agentes económicos pediría a ser compensados por el riesgo que se está tomando y esperar una rentabilidad superior a la de una simple tasa libre de riesgo $r$.

Answer 2

La deriva es la expectativa de la vuelta sobre un intervalo infinitesimal. Deje que $Q$ es el riesgo-neutral medir y $P^S$ ser medida asociado con el precio de las acciones numeraire definido por \begin{align*} \frac{dQ^S}{dQ}\big|_t = \frac{S_t}{B_t S_0}, \end{align*} donde $B_t=e^{rt}$ es el valor en el tiempo $t$ del mercado de dinero de la cuenta. Por otra parte, vamos a $E$ y $E^S$ ser la expectativa de los operadores correspondientes a las medidas que $P$ y $Q^S$. A continuación, \begin{align*} E\left(\frac{S_{t+\Delta t}-S_t}{S_t}\mid \mathscr{F}_t \derecho) &= E\a la izquierda(e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\Delta t + \sigma(W_{t+\Delta t} -W_t)}-1\mid \mathscr{F}_t \derecho)\\ &=e^{i \Delta t} - 1 \aprox r \Delta t. \end{align*} Del mismo modo, \begin{align*} E^S\left(\frac{S_{t+\Delta t}-S_t}{S_t}\mid \mathscr{F}_t \derecho) &= E\left(\frac{dQ^S}{dQ}\big|_{t+\Delta t}\left( \frac{dQ^S}{dQ}\big|_{t}\derecho)^{-1}\frac{S_{t+\Delta t}-S_t}{S_t}\mid \mathscr{F}_t \derecho)\\ &=E\left(\frac{S_{t+\Delta t} B_t}{S_t B_{t+\Delta t}}\frac{S_{t+\Delta t}-S_t}{S_t}\mid \mathscr{F}_t \derecho)\\ &=E\left(\left(\frac{S_{t+\Delta t}}{S_t}\derecho)^2 e^{-i\Delta t} - \frac{S_{t+\Delta t}}{S_t} e^{-i\Delta t}\mid \mathscr{F}_t \derecho)\\ &=e^{(r+\sigma^2)\Delta t} -1 \aprox (r+\sigma^2)\Delta t. \end{align*} Es decir, en virtud de los respectivos probabilidad de medida, la tendencia es la expectativa de la devolución, a través de un intervalo infinitesimal.

Answer 3

Tengo una toma en la intuición parte de la pregunta. ¿No es una simple consecuencia de la desigualdad de Jensen? Por lo tanto, suponiendo que $r=0$ para simplificar, tenemos en el mercado de dinero de la medida: $E(S_T)=S_t$, pero luego $E(1/S_T)>1/S_t$ por Jensen desde $1/$ x es convexo. Ahora en la bolsa de valores de medida, se debe forzar $E_S (1/S_T)=1/S_t$ para crear el correcto martingala, pero luego por la inversa de Jensen" debemos tener $E_S(S_T)>S_t$. La cantidad por la cual la desigualdad supera la igualdad es relativa a la desviación estándar, de forma intuitiva.