El uso de las transformadas de Fourier para la opción de compra de acciones de fijación de precios con estocásticos de tipos de interés

Question

Puede transformadas de Fourier se utiliza para derivar la conjunta de la función de densidad de probabilidad de estocásticos de tipos de interés y precio de las acciones Browniano movimientos de las opciones de compra bajo estocásticos de tipos de interés?

Así que digamos que tenemos para la tasa de interés el siguiente proceso $$dr(t)=\lambda(\theta-r(t))dt+\sigma^{r}dW^{r}(t)$$

y para los procesos de existencias $$dS(t)=r(t)S(t)dt+\sigma^{S}S(t)dW^{S}(t)$$ Regular la vainilla llamada de precio de la opción se da como $$\mathrm{Call}(t,K)=\mathbb{E}^{Q}\left[e^{-\int_{0}^{t}r(s) ds}(S(t)-K)^{+}\derecho]$$

Puede la articulación de la densidad de $f(W^{r}(t),W^{S}(t))$ derivados de la opción de compra los precios por el uso de la transformada de Fourier?

Answer 1

Hay una incompleta modelo de mercado, debido a que los activos de riesgo contiene dos fuentes de riesgo $W^S,W^r$ , lo que significa que el precio de la opción no puede ser cubierto por un libre de riesgo de la cartera.

Para estos modelos, $Q$ tiene una infinidad de soluciones que significa que usted no puede encontrar la articulación de la densidad en cualquier forma.

Answer 2

Hay un par de maneras en las que puedo pensar para aproximar este a partir de los datos del mercado, pero ninguno el uso de transformadas de Fourier.

1. Suponiendo que usted ha especificado los procesos bajo el riesgo de neutro medida (ya que S es presumiblemente bajo el riesgo neutral medir estoy asumiendo que r se especifica bajo el riesgo de neutro medida), entonces usted puede calibrar los parámetros para el mercado (por ejemplo, minimizando el error cuadrático sobre los parámetros desconocidos). Dado que los parámetros se puede calcular la (implícita de mercado) de la articulación de la densidad, si no analíticamente que mediante la resolución de la Focker-Tablón de ecuaciones numéricamente.

2. Aumentar el mercado con un libre de riesgo de los bonos. Entonces usted puede el precio de la opción en el avance de la medida. Tomando la segunda derivada con respecto a la huelga recupera el avance de la densidad de la población (Ver la discusión aquí para ver un ejemplo de cómo hacer esto). Este no se recupera de la articulación de la densidad, pero sí permite que los precios de cualquier opción europea con la misma fecha de caducidad.

3. Si usted es después de que el riesgo-neutral de la covarianza entre los dos procesos, uno puede aumentar el mercado forward y contratos de futuros. Deje que $f=\tilde{\mathbb{E}}[S_T]$ ser el futuro de los precios y $F=\frac{S_0}{B(0, T)}$ ser el precio a futuro donde $B(0, T)=\tilde{\mathbb{E}}[e^{-\int_0 ^T r(s) ds}]=\tilde{\mathbb{E}}[D(0, T)]$ es el precio de un cupón cero defecto de bonos sin. Entonces claramente Cov(S, D)=$\tilde{\mathbb{E}}[S_T D(0, T)]-\tilde{\mathbb{E}}[S_T]\tilde{\mathbb{E}}[D(0, T)]=S_0-fB(0, T)$. Esta es mayor que cero si y sólo si $S_0>fB(0, T)$, que es equivalente a $F>f$. Así que si el precio a plazo es mayor que el precio futuro de la correlación entre la S y la D es positivo, o, equivalentemente, S y r están correlacionadas negativamente.