¿Cómo cubrir un derivado que paga el recíproco del precio de la acción?

Question

1) Supongamos que S es el precio de la acción, ¿cómo cubrir un derivado que paga $1/S_t$ a la vez $t$ ?

2) Supongamos que habrá un dividendo de importe $d$ entre $t$ y $T$ cómo cubrir un derivado que paga $100$ * $S_T/S_t$ a la vez $T$ ?

La persona que me hizo la pregunta dijo que no necesitamos asumir la distribución de S aquí.

Gracias.

Answer 1

Obsérvese que, para una función suave y constante a $$f(S_t) = f(a) + f'(a) (S_t-a) + \int_a^{\infty}(S_t-x)^+f^{''}(x)dx + \int_{0}^a(x - S_t)^+f^{''}(x)dx.$$ Entonces, el resultado $1/S_t$ puede cubrirse aproximadamente mediante opciones de compra y de venta: $$\frac{1}{S_t} = \frac{1}{a} -\frac{1}{a^2}(S_t-a)+ 2\bigg[\int_a^{\infty}\frac{(S_t-x)^+}{x^3}dx + \int_{0}^a\frac{(x - S_t)^+}{x^3}dx \bigg],$$ donde $a = E(S_t)$ .

En cuanto a $S_T/S_t$ , dejemos que $d$ sea el dividendo pagado a $t_1$ donde $t<t_1<T$ . Tenga en cuenta que $$E(S_T \mid \mathcal{F}_t) =S_t \exp\Big(\int_t^T r_s ds \Big) - d\exp\Big(\int_{t_1}^T r_s ds \Big).$$ Reproducimos el resultado $1/S_t$ a la vez $t$ . Luego replicamos por forwards y bonos.

Answer 2

Podemos valorar explícitamente la Opción Invertida según el Modelo Black-Scholes de la siguiente manera:

Entonces, el coeficiente de cobertura delta viene dado por:

Answer 3

Para la pregunta 2): En el momento $T$ tenemos que pagar $100\cdot\frac{S_T}{S_t}$ (en moneda nacional, por ejemplo $). To do this, we need to buy 100$ valor de las acciones en el momento $t$ que nos da $N=100\cdot \frac{1}{S_t}$ acciones, con el valor final deseado de $$N\cdot S_T = 100\cdot\frac{S_T}{S_t}$$ al vencimiento. No hace falta decir que el PV de hoy de 100 \$ at time $t$ is $100\,B(0,t)$.

Sin embargo, en el momento $t_1$ sostenemos $N$ acciones, por lo que obtenemos un dividendo de $d$ por acción, por lo que recibimos $d\,N = 100\cdot d/S_t$ . Como buenos banqueros de inversión que somos, cobramos al cliente una cantidad proporcionalmente menor, es decir, el PV de eso, que es $100\,d$ veces la respuesta a la pregunta 1.

Así pues, respuesta final: $100\,(B(0,t) - d\cdot Q_1)$