Estimación de la deriva y la volatilidad históricas

Question

Quiero prever los precios $S(t)$ de algún activo basado en valores diarios históricos. Quiero utilizar el movimiento browniano geométrico dado por una SDE: $$dS=\mu S t + \sigma S dB,$$ donde $B$ es un movimiento browniano, para modelar. Los precios históricos son $$\{S_i\}_{i=1}^N,$$ a partir de la cual calculo los rendimientos logarítmicos ( $N-1$ en total) $$Z_i=\ln\frac{S_i}{S_{i-1}},$$ y la volatilidad histórica de 1 día como la desviación estándar de los rendimientos: $$\hat{\sigma} = \sqrt{Var\{Z_i\}}.$$

Q1: Digamos que quiero prever los precios $S(t)$ durante 180 días. ¿Debo tomar $\sigma$ en la SDE como la volatilidad de 1 día $\hat{\sigma}$ o como $\sqrt{180}\hat{\sigma}$ ? Yo diría que $\sigma=\hat{\sigma}$ como estoy modelando día a día, pero ¿es correcto?

Q2: ¿Cómo se calcula la deriva $\hat{\mu}$ de los precios históricos? ¿Es simplemente $$\hat{\mu}=\frac{1}{N-1}\sum\limits_{i=1}^{N-1}Z_i,$$ y es (la fórmula anterior) un 1 día de deriva ?

Answer 1

Al observar los rendimientos del registro, se está examinando el proceso estocástico

$$ Q_t = \log S_t $$

dado por

$$ \begin{align} dQ_t & = \left( \mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2\right) dt + \sigma\, dB_t \\ & \equiv \alpha \,dt + \sigma\, dB_t \end{align} $$

donde $\alpha=\mu-\tfrac{1}{2}\sigma^2$ .

Hasta ahora, todo está en tiempo continuo. Para interpretar la SDE, es necesario saber cuánto tiempo pasa cuando $t$ aumenta en una unidad. Si la distancia entre $t=0$ y $t=1$ es un día, entonces $Q_{t+1}-Q_t$ es el rendimiento diario del registro, y $\mu$ es la deriva diaria. Sin embargo, si la distancia entre $t=0$ y $t=1$ es un año, entonces $\mu$ es la deriva anual.

Supongamos que una unidad de $t$ es un día. Entonces, definiendo $Z_i = Q_{i+1} - Q_i$ (lo que equivale a su definición de los rendimientos logarítmicos) la fórmula

$$ \hat{\alpha} = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N-1} Z_i $$

da la deriva de un día para este proceso, y

$$ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{N-2} \sum_{i=1}^{N-1} (Z_i - \hat{\alpha})^2 $$

da la varianza de un día (por lo tanto $\hat{\sigma}$ es la desviación estándar de un día). Para recuperar el estimador del término de deriva $\mu$ usted define

$$ \hat{\mu} = \hat{\alpha} + \tfrac{1}{2}\hat{\sigma}^2 $$

Si quiere la deriva de 180 días y la desviación estándar, necesita

$$ \begin{align} \hat{\mu}_{180} & = 180\hat{\mu} \\ \hat{\sigma}_{180} & = \sqrt{180}\,\hat{\sigma} \end{align} $$

Como mera cuestión de notación, yo tomaría sus observaciones sobre los precios como $\{S_i\}_{i=0}^N$ para que tengas $N+1$ observaciones de precios, y $N$ rendimientos diarios. Esto simplificará sus fórmulas más adelante.