Quiero demostrar que: si $σ$ es positiva, entonces no hay arbitraje en el modelo, incluso si $r > µ$. Aunque yo he satisfechos por $ r > \mu$, no veo por qué el acondicionado en $\sigma>0 $ es necesario.
Dado: $S_0 = 1$, $B_t$ = el movimiento Browniano y $S_t$ = precio de las acciones Y nuestro modelo Black-scholes: $$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dB_t$$
A continuación, este modelo es libre de arbitraje si hay algún Equivalente de Martingala Medida $\mathbb{Q}$ tal que $S_t e^{-rt}$ es una martingala.
Así que ¿por qué se requiere que $\sigma > 0$, para que esto sea el arbitraje libre?
La solución a BSM: $$S_T = S_0 e^{(r - \frac{1}{2}\sigma^2)T + B_T}$$
Ahora con un descuento de ¡$X_t = S_T e^{-rT}$
Por lo que $$X_t = e^{(\mu - \frac{\sigma^2}{2} - r)T + \sigma(B_t)}$$ Así que necesitamos a mostrar $X_t$ EMM es menos de $\mathbb{Q}$
$$dX_t = \sigma S_t e^{-rt}( \frac{\mu - r}{\sigma}dt + dB_t)$$
entonces por el teorema de Girsanov con $c = \frac{\mu - r}{\sigma}$, Hay $\mathbb{Q}$ tal que $ct + B_t = \hat B_t$ es un movimiento Browniano (es este llamado movimiento browniano con deriva?)
Da:
$$X_t = X_0 e^{\sigma \hat B_t - \frac{1}{2}\sigma^2}$$
Y esta es una exponencial de martingala.
PERO, ¿por qué confiar en $$\sigma >0$$
Es claro que $X_t$ es independiente de la $r$ y $\mu$ por eso el caso de la $r >\mu$ no nos afecta.
