Continua delta hedge fórmula

Question

Cuando compramos una llamada y continuamente delta hedge uso de algunos volatilidad implícita $\sigma_i$, ¿cuál es la fórmula para nuestro beneficio agregado, dado que el real se dio cuenta de que la volatilidad es de $\sigma_r$?

Decir $S_0 = 1000, \sigma_i = 0.25, \mu = 0.10$, y la llamada ha de caducidad de un año a partir de ahora.

¿Cómo funciona la fórmula en términos de $\sigma_r$? ¿Qué sucede si $\sigma_r =0$? $> \sigma_i$? $< \sigma_i$?

Answer 1

Esta es una ligeramente mayor que la versión de mi comentario que resume los principales resultados de la referencia que he proporcionado.

Este problema se discute en detalle en el Capítulo 12 de Wilmott (2006), que se basa en el papel de Ahmad y Wilmott (2005). Ver también la Pregunta relacionada con la 9 en la Carr (2005).

En su caso, la venta y el delta hedging la opción de usar la volatilidad implícita de $\sigma_{(i)}$, mientras que la actual volatilidad del activo subyacente es de $\sigma_{(r)}$. Su cartera de pérdida y ganancia está dada por la suma de los cambios en el valor de (i) la derivada y (ii) la posición de cobertura, tanto en el uso de la volatilidad implícita. Tenemos

\begin{ecuación} \mathrm{d} \Pi_t = \mathrm{d}V_t^{(i)} - \Delta_t^{(i)} \mathrm{d}S_t - r \left( V_t^{(i)} - \Delta_t^{(i)} S_t \derecho) \mathrm{d}t. \end{ecuación}

Desde

\begin{ecuación} \mathrm{d}V_t^{(i)} = \frac{\partial V^{(i)}}{\partial t} \mathrm{d}t + \underbrace{\frac{\partial V^{(i)}}{\partial S}}_{= \Delta^{(i)}} \mathrm{d}S_t + \frac{1}{2} \underbrace{\frac{\partial^2 V^{(i)}}{\partial S}}_{=\Gamma^{(i)}} \mathrm{d} \langle S \rangle_t, \end{ecuación}

tenemos

\begin{ecuación} \mathrm{d}\Pi_t = \left( \frac{\partial V^{(i)}}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma_{(r)}^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V^{(i)}}{\partial S^2} - r \left( V_t^{(i)} - \Delta_t^{(i)} S_t \derecho) \derecho) \mathrm{d}t. \end{ecuación}

Ahora vamos a utilizar que $V^{(i)}$ satisface la Black-Scholes de la PDE

\begin{ecuación} \frac{\partial V^{(i)}}{\partial t} + r S_t \underbrace{\frac{\partial V^{(i)}}{\partial S}}_{=\Delta^{(i)}} + \frac{1}{2} \sigma_{(i)}^2 S_t^2 \underbrace{\frac{\partial^2 V^{(i)}}{\parcial S^2}}_{=\Gamma^{(i)}} - r V^{(i)} = 0 \end{ecuación}

para obtener

\begin{ecuación} \mathrm{d}\Pi_t = \frac{1}{2} \left( \sigma_{(r)}^2 - \sigma_{(i)}^2 \derecho) S_t^2 \Gamma^{(i)} \mathrm{d}t. \end{ecuación}

I. e. durante cada intervalo de tiempo breve, su ganancia y la pérdida es proporcional a la diferencia en di cuenta de las varianza de los tiempos de la corriente de rayos gamma (calculada utilizando la volatilidad implícita). Mientras que $\mathrm{d}\Pi_t$ es determinista, en general, la cobertura de pérdida y ganancia de más de la vida de la opción es dependiente del recorrido. Su valor absoluto es mayor para las rutas que fluctúa en torno a la huelga (donde la gamma es mayor).

Referencias

Ahmad, Riaz y Paul Wilmott (2005) "el Que la Libre Almuerzo le Gustaría a Usted Hoy, Señor? Delta de Cobertura, la Volatilidad de Arbitraje y Óptima de Carteras," Wilmott de la Revista, disponible aquí

Carr, Pedro (2005) "preguntas frecuentes en la Opción de la Teoría de Precios", Documento de Trabajo, disponible aquí

Wilmott, Pablo (2006) Paul Wilmott en Finanzas Cuantitativas, Vol. 1: Wiley, 2ª Edición