Dejemos que $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ bajo la medida de probabilidad $P$ en el espacio medible $(\Omega, \mathcal{F})$ . Podemos definir una derivada de Radon-Nikodym $Z$ , también definida en $(\Omega, \mathcal{F})$ , por $$ Z(\omega) := \frac{e^{\alpha X(\omega)}}{M_X(\alpha)} = \exp\left(\alpha X(\omega) - \alpha\mu - \frac{1}{2}\alpha^2\sigma^2\right) $$ para $\alpha \in \mathbb{R}$ , donde $M_X(\alpha) = \exp(\alpha\mu + \frac{1}{2}\alpha^2\sigma^2)$ es el MGF de $X$ . La variable aleatoria $Z$ sí que es una derivada de Radon-Nikodym, así que vamos a utilizarla para definir una nueva medida de probabilidad $\tilde{P}$ en $(\Omega, \mathcal{F})$ por $$ \tilde{P}(A) := \int_A Z(\omega) \, dP(\omega) \qquad \text{for all } A \in \mathcal{F}. $$ Se puede demostrar que, bajo $\tilde{P}$ , $X \sim \mathcal{N}(\mu + \sigma^2\alpha, \sigma^2)$ . En palabras, a menudo he visto esto descrito (por ejemplo, Shreve II, p. 37) como
Cambiamos la distribución de la variable aleatoria sin cambiar la propia variable aleatoria.
Sin embargo, el cálculo de las probabilidades de $X$ en $\tilde{P}$ equivale entonces a calcular las probabilidades de $X + \sigma^2\alpha$ en $P$ en el que hacer cambiar la variable aleatoria; añadimos $\sigma^2\alpha$ a ella.
Además, para la fijación de precios de las opciones, Shreve da el teorema de Grisanov en la parte inferior de la p. 212, y define una nueva variable aleatoria $$ \tilde{W}(t) = W(t) + \int_0^t \theta(u) \, du, $$ que luego se sustituye en el modelo de precios de las acciones. Así que aquí, en su contexto más aplicado en las finanzas cuánticas, ¡estamos cambiando descaradamente la variable aleatoria!
Así que, aunque la cita anterior sobre cambiar sólo la distribución es técnicamente válida en un sentido, en el otro sentido realmente son cambiar la variable aleatoria. ¿Se me escapa algo?
