Ito Lema para este problema

Question

Estoy tratando de demostrar un lema de un papel, en el contexto de los contratos óptimos.

$r,\rho\gamma\alpha,\sigma$ son constantes.

$dR_t = (\alpha + r)dt + \sigma dZ_t$ donde $Z_t$ es un estándar de movimiento Browniano.

Lema 1

Dado un incentivo compatible contrato, el agente del consumo debe satisfacer $$\frac{dc_t}{c_t} = \left( \frac{r - \rho}{\gamma} + \frac{1+\gamma}{2} (\sigma^c_t)^2 \derecho) dt + \sigma^c_t \frac{1}{\sigma} \left( dR_t - (\alpha + r) dt \derecho) + dL_t$$ para algunos procesos estocásticos $\sigma^c$ y un débil aumento de proceso estocástico $L$.

Prueba

Los autores proporcionan los siguientes pasos:

1. $e^{-(\rho - r)t}c_t^{\gamma}$ es un supermartingale, por lo tanto se puede expresar como $$ e^{-(\rho - r)t}c_t^{\gamma} = M_t - A_t$$ donde $M_t$ es una martingala y $A_t$ es un débil proceso creciente.

2. La aplicación de la martingala representación teorema de $M_t$, existe un proceso estocástico $\sigma^M_t$ tales que $$M_t = \int_0^{t} \sigma^M_t dZ_t$$ donde $Z_t$ es un estándar de movimiento Browniano.

3. Que, a continuación, aplicar el Lema de Ito para obtener la primera ecuación por ajuste de $\sigma^M_t = -\gamma \sigma^c_t e^{-(\rho - r)t}c_t^{\gamma}$.

Yo estoy luchando en el paso 3, como no estoy seguro de cómo la Ito diferencial ve $M_t$.

Esto es lo que he hecho: $$- (\rho - r) e^{-(\rho - r) t}c_t^{-\gamma} dt - \gamma e^{-(\rho - r)t} c_t^{\gamma - 1} dc_t = dM_t - dA_t $$ Sustituyendo en $dM_t$ y dividiendo por $K = e^{-(\rho - r) t} c_t^{-\gamma}$,

$$(r - \rho) dt - \gamma \frac{dc_t}{c_t} = K^{-1} \sigma^M_t dZ_t - K^{-1} dA_t$$ Definir $\sigma^c_t = (-\gamma K)^{-1} \sigma^M_t$ y $dL_t = (\gamma K)^{-1} dA_t $, y por lo tanto $$ \frac{dc_t}{c_t} = \frac{r - \rho}{\gamma} dt + \sigma^c_t dZ_t + dL_t $$ Enchufe en $dZ_t = \frac{1}{\sigma} \left( dR_t - (r + \alpha) dt \right)$ (un resultado anterior) y el resultado de la siguiente manera.

¿De dónde viene el $\frac{1+\gamma}{2} (\sigma^c_t)^2$ plazo vienen?

Answer 1

Te perdiste el término cuadrático, específicamente, en lugar de \begin{align*} - (\rho - r) e^{-(\rho - r) t}c_t^{-\gamma} dt - \gamma e^{-(\rho - r)t} c_t^{-\gamma - 1} dc_t &= dM_t - dA_t, \end{align*} tenemos \begin{align*} & - (\rho - r) e^{-(\rho - r) t}c_t^{-\gamma} dt - \gamma e^{-(\rho - r)t} c_t^{-\gamma - 1} dc_t + \frac{1}{2} \gamma (\gamma+1)e^{-(\rho - r)t} c_t^{-\gamma - 2} d\langle c, c\rangle_t \\ &=\ dM_t - dA_t. \end{align*} Es decir, \begin{align*} \frac{dc_t}{c_t} = \frac{r - \rho}{\gamma} dt +\frac{1}{2}(\gamma+1)c_t^{-2}d\langle c, c\rangle_t + \sigma^c_t dZ_t + dL_t. \end{align*} Por otra parte, \begin{align*} c_t^{-2}d\langle c, c\rangle_t = \big(\sigma_t^c\big)^2 dt. \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} \frac{dc_t}{c_t} = \frac{r - \rho}{\gamma} dt +\frac{1}{2}(\gamma+1)\big(\sigma_t^c\big)^2 dt + \sigma^c_t dZ_t + dL_t. \end{align*}