Un pago racional factible que no es un pago de equilibrio en el juego repetido

Question

El libro de texto que estoy leyendo actualmente afirma que, en un juego repetido infinitamente con descuento, puede haber un vector de pagos que sea factible e individualmente racional, pero no es un vector de pagos de equilibrio en el juego repetido. El ejemplo es el siguiente juego básico para tres jugadores:

     L       R
T  0,2,5    0,0,0
M  0,1,0    2,0,5
B  1,1,0    1,1,0

El tercer jugador es un jugador ficticio con una sola acción posible.

En este juego:

• Los valores minimax de los jugadores son 1,1,0.
• El vector de retribución 1,1,5 es individualmente racional y factible (por ejemplo, mezclando TL y MR con igual frecuencia).

El libro afirma que el único vector de pagos en equilibrio es ¡1,1,0! ¿Por qué?

Sea $E$ sea algún equilibrio en el juego repetido. Los pagos de los jugadores de fila y columna en $E$ debe ser 1, porque:

• Deben ser al menos 1 porque son los valores minimax;
• Deben ser como máximo 1 porque la suma de las utilidades de estos jugadores en cada resultado es como máximo 2.

En las casillas TR y ML, la suma de las utilidades de los jugadores de fila y columna es inferior a 2; por lo tanto, estas casillas no se juegan en equilibrio en absoluto.

Así que en equilibrio, las únicas celdas que pueden tocarse con frecuencia positiva son: TL, MR, BL, BR.

Ahora, los autores afirman que TL y MR tampoco se juegan en absoluto en equilibrio. De esto concluyen que la retribución del jugador ficticio es 0. No he entendido esta parte. ¿Es cierto que TL y MR nunca se juegan en equilibrio? ¿Por qué?

Answer 1

Es cierto debido al descuento. Si el parámetro de descuento fuera $\delta = 1$ entonces los jugadores 1 y 2 podrían alternar jugando TL y MR en equilibrio y entonces alcanzar el vector de retribución media $1,1,5$ . Pero si $\delta < 1$ alguien no le seguirá el juego. Supongamos que los jugadores empiezan con TL. Luego le seguiría MR en la siguiente ronda, luego TL otra vez, y así sucesivamente. En este caso $$ U_1 = 0 + 2 \cdot \delta + 0 \cdot \delta^2 + 2 \cdot \delta^3 + ... $$ Sin embargo, jugando siempre B, el jugador 1 obtendría la recompensa $$ U_1' = 1 + 1 \cdot \delta + 1 \cdot \delta^2 + 1 \cdot \delta^3 + ... $$ que es mayor que $U_1$ . Del mismo modo, el jugador 2 no querría empezar con MR. Por tanto, no se trata de repescas de equilibrio. (Ni siquiera el equilibrio correlacionado de Aumann serviría).