Convertir las definiciones de palabras de Pareto-Optimo en símbolos matemáticos

Question

Me gustaría tener una versión matemática de las dos definiciones siguientes, sólo porque recuerdo mejor los símbolos que las palabras. Pero me falta la habilidad matemática para convertirlas de palabras a símbolos. ¿Puede alguien ayudarme?

Def 1:

Una asignación factible es débilmente Pareto-óptimo si no hay una asignación alternativa (factible) tal que todo el mundo prefiere la alternativa al original.

Def 2:

Una asignación factible es fuertemente Pareto-óptima si no hay una asignación alternativa (factible) de manera que al menos una persona prefiera la alternativa, y todos los demás sean indiferentes.

Answer 1

Dejemos que $\Omega$ sea el conjunto de todas las asignaciones factibles con un elemento $\omega \in \Omega$ . Considere $I$ agentes tal que la utilidad del agente $i$ es descrito por $u_i(\omega)$ .

Definición 1: $\omega \in \Omega$ es débilmente Pareto-óptima si $\nexists \omega' \in \Omega$ tal que $\forall i$ $u_i(\omega') > u_i(\omega)$ . La Pareto-optimidad débil es básicamente decir que para cualquier otra asignación, $\omega'$ en el conjunto de asignaciones factibles que no todos pueden preferir estrictamente la alternativa.

Definición 2: $\omega \in \Omega$ es fuertemente Pareto-óptima si $\nexists \omega' \in \Omega$ tal que $\forall i$ $u_i(\omega') \geq u_i(\omega)$ con una desigualdad estricta para al menos una $i$ . La Pareto-optimidad fuerte es un poco más fuerte en el sentido de que su asignación debe ser estrictamente preferida por algunos a todas las demás asignaciones y todos los demás pueden ser indiferentes.

Espero que sea útil.