Supuestos del modelo de factores

Question

Estuve leyendo sobre Modelos de Factores en el libro Gestión de Riesgos Cuantitativos de McNeil, et al. En la sección 3.4.1 introducen un modelo de factores lineales $$X = a + BF + \epsilon ,$$ donde $X \in R^d$ , $F \in R^p$ . Hacen las siguientes suposiciones:

1. $ \epsilon = ( \epsilon_1 , \ldots , \epsilon_d )'$ es un vector aleatorio de términos idiosincrásicos, que no están correlacionados y tienen un promedio de cero
2. $ \text {cov}(F, \epsilon ) = 0$ .

Entiendo que si hubiera un factor adicional, digamos $B_{p+1} F_{p+1}$ Entonces $ \epsilon $ ya no estarían desvinculados. Así que tal vez la Suposición (1) asegura que todos los factores de riesgo han sido capturados y el resto de la aleatoriedad es verdaderamente idiosincrática.

¿Cómo entendemos la Asunción (2)?

Answer 1

De hecho, la Asunción 2 es natural. Es la Asunción 1 la que necesita justificación.

Estrictamente hablando, la Asunción 2 no es una suposición. Es simplemente un corolario de la regresión de $X$ contra $F$ . En el lenguaje del álgebra lineal, es la descomposición del espacio vectorial de todos $X$ en el subespacio abarcado por $F$ y su subespacio ortogonalmente complementario. Esta ecuación es exacta.

Sin embargo, la Suposición 1 no se satisface necesariamente excepto la parte sobre el cero medio que es simplemente el resultado y el propósito de tener constante $a$ absorbiendo todos los medios que no sean cero. Se puede construir fácilmente cualquier número de vectores con su componente complementario altamente correlacionado entre sí. Sin embargo, presumiblemente la mayor parte de la varianza es capturada por $F$ y por lo tanto, cualquier cosa que pueda decirse sobre el vector residual es inmaterial, excepto quizás su variación residual. Por lo tanto, es mejor tratarlos como si no estuvieran correlacionados.

Answer 2

Las suposiciones de los modelos factoriales tienden a ser similares a las suposiciones que se ven en la regresión.

La primera suposición es bastante directa, los errores no están correlacionados con la media cero. No diría que necesariamente significa que todos los factores de riesgo han sido capturados. Sin embargo, a los efectos de utilizar el modelo de factores, es básicamente asumir que no hay más factores sistémicos.

El segundo supuesto significa que los factores y los errores no están correlacionados. La razón principal de esta suposición es que facilita el poder dividir la covarianza de manera que haya un componente factorial y un componente residual.