¿Cuál es la ecuación para una anualidad ajustada por inflación mantenida perpetuamente?

Question

¿Cuál es la ecuación que relaciona una inversión inicial, una tasa de rendimiento fija, una tasa de inflación y un pago perpetuo ajustado a esa tasa de inflación?

Answer 1

Sea P el monto de la inversión, R la tasa de retorno e I la tasa de inflación. Para simplificar, asuma que el pago p se realiza anualmente justo después de que se haya ganado la ganancia. Así, al final del año, la inversión P ha aumentado a P*(1+R) y p se devuelve como el pago de anualidad.

Si I = 0, toda la ganancia se puede pagar como el pago, y así p = P*R. Es decir, al final del año, cuando el polvo se asiente después de que se haya recogido y pagado la ganancia P*R como el pago de anualidad, P está de nuevo disponible al comienzo del próximo año para ganar retorno a la tasa R. Tenemos

P*(1+R) - p = P

Si I > 0, entonces al final del año, después de que el polvo se asiente, no podemos permitirnos tener solo P disponible como la inversión para el próximo año. El pago del próximo año debe ser p*(1+I) y por lo tanto necesitamos una inversión más grande ya que la tasa de retorno está fija. ¿Cuánto más grande? Bueno, si la inversión al comenzar el año siguiente es P*(1+I), ganará exactamente suficiente dinero adicional para pagar el pago aumentado para el próximo año, y tendrá suficiente sobrante para ayudar hacia futuros aumentos en pagos. (Notar que estamos asumiendo que R > I. Si R < I, no se puede crear una perpetuidad.) Así, supongamos que elegimos p de manera que

P*(1+R) - p = P*(1+I)

Multiplicando esta ecuación por (1+I), tenemos

[P(1+I)]*(1+R) - [p*(1+I)] = P*(1+I)^2

En otras palabras, al comienzo del año siguiente, la inversión es P*(1+I) y el retorno menos el pago aumentado de p*(1+I) deja una inversión de P*(1+I)^2 para el año siguiente. Cada año, el pago y la cantidad a ser invertida para el año siguiente aumentan por un factor de (1+I). Resolviendo

P*(1+R) - p = P*(1+I)

para p, obtenemos

p = P*(R-I)

como el pago de perpetuidad inicial y el pago aumenta por un factor (1+I) cada año. La inversión inicial es P y también aumenta por un factor de (1+I) cada año. En años posteriores, la inversión es P*(1+I)^n al comenzar del año, el pago es p*(1+I)^n y el monto invertido para el próximo año es P*(1+I)^{n+1}.

Este es el mismo resultado obtenido por el OP pero escrito en términos que puedo entender, es decir, sin el argot financiero sobre tasas de descuento, gradientes, VP, FV y demás.

Answer 2

EDICIÓN: Después de leer uno de los comentarios en la pregunta original, me di cuenta de que hay una manera mucho más intuitiva de pensar en esto. Si lo ves como un cálculo de VP estándar y mantienes constante cada una de las corrientes de efectivo. Realmente lo que está sucediendo es que debido a la inflación la tasa de descuento no es el valor completo de la tasa de interés. Realmente la tasa de descuento es solo la parte de la tasa de interés por encima de la tasa de inflación. Por lo tanto, en la ecuación estándar de VP de perpetuidad VP = A / r r se convierte en la tasa de interés menos la tasa de inflación que te da VP = A / (i - g).

Eso parece ser una forma mucho mejor de llegar a la respuesta que todas las maquinaciones que estaba intentando al principio.

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Respuesta Original:

Creo que finalmente entendí esto. El término general para este tipo de sistema en el que los pagos aumentan con el tiempo es una anualidad de serie de gradientes. En este ejemplo específico, dado que el pago aumenta en un porcentaje cada período (no una tasa constante) esto se consideraría una serie de gradientes geométricos.

Según este enlace, la fórmula para el valor presente de una serie de pagos de gradientes geométricos es:

P = A_1 [1 - (1 + g)^n(1 + i)^-n]/(i - g)

Donde

P es el valor presente de esta serie de corrientes de efectivo.   A_1 es el pago inicial para el período 1 (es decir, la cantidad que deseas retirar ajustada por la inflación).   g es el gradiente o tasa de crecimiento del pago periódico (en este caso, esta es la tasa de inflación)   i es la tasa de interés   n es el número de pagos

Esto es casi exactamente lo que estaba buscando en mi pregunta original. El único problema es que esto es para una cantidad fija de tiempo (es decir, n períodos). Para averiguar la fórmula de una perpetuidad, necesitamos encontrar el límite del lado derecho de esta ecuación a medida que el número de períodos (n) se acerca a infinito.

Afortunadamente, en esta ecuación n ya está bien aislada en un solo término: (1 + g)^n/(1 + i)^-n}. Y como sabemos que la tasa de interés, i, tiene que ser mayor que la tasa de inflación, g, el límite de ese factor es 0.

Entonces, después de reemplazar ese término con 0, nuestra ecuación se simplifica a lo siguiente:

P = A_1 / (i - g)

Nota: No hago esto para ganarme la vida y sinceramente no tengo un IQ financiero fantástico. Ha pasado un tiempo desde que hice cálculo o incluso esta cantidad de álgebra, así que puede que haya cometido un error en las matemáticas.

Answer 3

La pregunta carece de especificidad, es decir, ¿cuándo ocurre la inversión inicial, ahora o un período después? Si es ahora, entonces es una perpetuidad vencida.

Consideraré bajo 2 escenarios, A y B, relacionados con el tamaño de la inversión inicial.

A. Suponiendo que la inversión inicial (C_0) ocurre ahora y cada pago posterior tiene la relación (1+g) con esta inversión, entonces la ecuación base relevante es para el valor presente de una perpetuidad creciente vencida, expresada en términos de C_0, es decir,

PVGPD = [C_0*(1+g)*(1+i)]/(i-g).

Ahora, para adaptarnos a la pregunta formulada, podemos ver que i=tasa de retorno fija (f) y g=tasa de inflación esperada (e) de manera que podemos reescribir la ecuación como

PVGPD = [C_0*(1+e)*(1+i)]/(i-e].

Sabemos que f = es una tasa fija nominal y se debe ajustar por e para calcular la tasa real (r) de acuerdo a la ecuación f=(1+r)*(1+e)-1. Por lo tanto

PVGPD = [C_0*(1+e)(1+(1+r)(1+e)-1)]/((1+r)*(1+e)-1-e]

Acomodando

PVGPD = {C_0*(1+r)(1+e)^2}/[r(1+e)]

PVGPD = [C_0*(1+r)*(1+e)]/r

B. Suponiendo que la inversión inicial (X) no es igual a cada pago perpetuo subsiguiente (C_1) entonces la ecuación base relevante es para la inversión inicial más el valor presente de una perpetuidad creciente, es decir,

PVGP= X + [C_1/(i-g)]

Reescribiendo

PVGP = X + [C_1/(f-e)]

Sustituyendo

PVGPD = X + {C_1/[(1+r)*(1+e)-1-e]}

Acomodando

PVGPD = X + C_1/[r*(1+e)]