Vamos a $X_t$ ser un impuesto Proceso y $e^{X_t}$ el correspondiente exponencial Levy proceso. El uso de la Esscher transformación para un cambio de la medida para que el Radón-Nykodym derivada es $$\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} = \frac{e^{\theta X_T}}{E[e^{\theta X_T}]},$$
Estoy buscando para encontrar el Esscher parámetro $\theta$ que la medida $\mathbb{Q}$ es de riesgo neutral, es decir, tales que la siguiente ecuación se satisface: $$ E^{\mathbb{Q}}[e^{X_T} \vert \mathcal{F}_t] = e^{X_t} $$ donde $T>t$ y $\mathcal{F}_t$ es la filtración en el tiempo t. Mi objetivo es encontrar una fórmula explícita para $\theta$ en términos de funciones características de la recaudación del proceso.
Lo que he intentado: Usando la regla de Bayes $$ E^{\mathbb{Q}}[X \vert \mathcal{F}] = \frac{E^{\mathbb{P}}[ X f \vert \mathcal{F}]}{E^{\mathbb{P}} [f \vert \mathcal{F}]} $$ donde $f$ es un Radón-Nykodym derivados $dQ/dP$, obtenemos $$ E^{\mathbb{P}} \left[ \frac{e^{\theta X_T}}{E^{\mathbb{P}}[e^{\theta X_T}]} e^{X_T} \bigg| \mathcal{F}_t \derecho]\frac{1}{ E^{\mathbb{P}} \left[ \frac{e^{\theta X_T}}{E^{\mathbb{P}}[e^{\theta X_T}]} \big| \mathcal{F}_t \derecho]} = e^{X_t} \Leftrightarrow\\ E^{\mathbb{P}} [e^{(\theta +1) X_T} | \mathcal{F}_t] = e^{X_t} E^{\mathbb{P}}[e^{\theta X_T} | \mathcal{F}_t]$$ Desde $e^{(\theta+1)X_t}$ es $\mathcal{F}_t$medible, esto puede ser escrito $$ e^{(\theta +1 )X_t} E^{\mathbb{P}}[e^{(\theta +1)(X_T-X_t)} | \mathcal{F}_t] = e^{X_t} E^{\mathbb{P}}[e^{\theta X_T} | \mathcal{F}_t]$$ Por la estacionariedad de los incrementos de la recaudación este proceso puede ser escrito $$ e^{\theta} E^{\mathbb{P}}[e^{(\theta +1)X_{T t}} | \mathcal{F}_t] = E^{\mathbb{P}}[e^{\theta X_T} | \mathcal{F}_t] $$ Ahora al hacer la sustitución $\theta +1 = ui$ podemos reescribir la ecuación en términos de funciones características: $$ e^{\theta} e^{(T-t)\psi(u)} = e^{t\psi(u)}E(e^{-X_T}|\mathcal{F}_t) $$ Donde $\psi$ es la característica exponente. Esto es casi lo que necesito, excepto el extra de la expectativa. Qué hacer con ella? Tengo un poco de conocimiento limitado de las filtraciones, el continuo de modelos de tiempo, así que no estoy seguro de si los cálculos son correctos, ya sea.
