Cuadrado del proceso de movimiento browniano aritmético

Question

Tenemos un proceso de movimiento Browniano aritmético $X_t$ que sigue $dX_t=\mu dt + \sigma dZ_t$ y definimos el precio del activo $S_t=X_t^2$ y se nos pide encontrar la ecuación diferencial estocástica que satisface $S_t$, así como las funciones de densidad y distribución de $S_t$. La primera parte la logré mediante una aplicación directa del lema de Itō: \begin{align*} dS_t&=\left(\frac{\partial S_t}{\partial t}+\mu\frac{\partial S_t}{\partial X_t}+\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 S_t}{\partial X_t^2}\right)dt+\sigma\frac{\partial S_t}{\partial X_t}dZ_t\\ &=\left(2\mu X_t+\sigma^2\right)dt+2\sigma X_tdZ_t\\ \end{align*>

pero la segunda parte me está resultando más difícil. Sabemos que $X_t$ está distribuido normalmente en que $X_t-X_0\sim N(\mu t,\sigma\sqrt{t})$, así que sé por otras clases que $S_t=X_t^2$ seguirá algún tipo de distribución $\chi^2$, sin embargo, debido a que $X_t$ no tiene media cero ni varianza unitaria, $S_t$ termina siendo una distribución $\chi^2$ no central escalada y la CDF y PDF son feas en el mejor de los casos (sin mencionar que estoy bastante seguro de que el conocimiento de que el cuadrado de una normal es $\chi^2$ está fuera del alcance de esta clase).

¿Hay algo mal con mi lógica al pasar de $X_t\sim$ Normal a la distribución de $S_t$?

Answer 1

Su lógica está bien $$ X_t \sim \mathcal {N}(X_0+\mu t, \sigma^2 t) $$

Así, $\left (\frac {X_t}{\sigma\sqrt {t}}\right)^2 $ de hecho exhibe una distribución no central chi-cuadrado

$$ \left (\frac {X_t}{\sigma\sqrt {t}}\right)^2 \sim \chi^2\left(k=1,\lambda=\left (\frac {X_0+\mu t}{\sigma\sqrt {t}}\right)^2\right) $$

de donde la ley de $S_t := X_t^2$.

En cuanto a la pdf/cdf de $S_t$, la clave aquí es que solo hay un grado de libertad, así que no es necesario conocer la pdf/cdf no central de $\chi^2$ de memoria.

De hecho, no es necesario saber que se trata de una distribución chi-cuadrado para empezar.

De hecho, para cualquier variable $X^2$ con soporte en $[0,\infty [$, la función de distribución acumulada $F_{X^2}$ se escribe:

$$ F_{X^2}(x) := P [X^2 \leq x] $$ lo cual es equivalente a escribir \begin{align} F_{X^2}(x) &= P [\vert X \vert \leq \sqrt {x}] \\ &= P [-\sqrt {x} \leq X \leq +\sqrt {x}] \\ &= F_X (\sqrt {x}) - F_X (-\sqrt {x}) \end{align}

De ahí la relación entre la función de distribución acumulada de $X^2$ y la de $X $.

Ahora diferencie la ecuación anterior con respecto a $x$ para obtener la relación entre las funciones de densidad de probabilidad.