¿Es la probabilidad marginal de incumplimiento lo mismo que la probabilidad condicional de incumplimiento?

Question

Me desconcierta el término probabilidad marginal de incumplimiento. He visto que algunos autores lo definen como un término sinónimo de probabilidad condicional de incumplimiento

probabilidad condicional de incumplimiento: probabilidad de incumplimiento dado que aún no ha ocurrido un incumplimiento.

Que se resuelve de la siguiente manera:

$PD_{condicional} = \frac{P(incumplimiento\_en\_cualquier\_momento\_antes\_del\_periodo\_t1) - P(incumplimiento\_en\_el\_periodo\_t0)}{1-P(incumplimiento\_en\_el\_periodo\_t0)}$

También lo he visto definido como:

La función de densidad de tiempo de incumplimiento o probabilidad de incumplimiento marginal es la derivada de la distribución de tiempo de incumplimiento con respecto a t:

$\frac{\partial}{\partial t}P[t^*

Donde

$t^*$ es el tiempo de incumplimiento

$t$ es el momento que estamos observando

$\lambda$ es la tasa de peligro

$F(t)$ = distribución acumulada de tiempo de incumplimiento = $P[t^*

Pregunta

¿Significa esto que $\lambda e^{-\lambda t}$ es una aproximación de la probabilidad condicional de incumplimiento?

Answer 1

Según tu definición, ciertamente no son lo mismo. Generalmente, la probabilidad marginal de incumplimiento es la probabilidad de que el incumplimiento ocurra en un período de tiempo dado, como $[t, t + \Delta]$, es decir, $P(t < \tau \le t+\Delta)$. Aquí, $\tau$ es el tiempo de incumplimiento. Consulta el Capítulo 10 del libro Riesgo de Contraparte y Ajuste de Valor de Crédito para las definiciones. Ten en cuenta que \begin{align*} P(t < \tau \le t+\Delta) &=P(\tau \le t+\Delta) - P(\tau \le t) \\ &\approx \Delta \frac{\partial P(\tau \le t)}{\partial t}. \end{align*} Luego, las personas tratan la probabilidad marginal de incumplimiento, durante un pequeño período de tiempo, como la densidad $\frac{\partial P(\tau \le t)}{\partial t}$.

Sin embargo, la probabilidad condicional de incumplimiento se define por \begin{align*} P(\tau \le t_1 \mid \tau > t) &= \frac{P\big((\tau \le t_1) \cap (\tau >t)\big) }{P(\tau >t)}\\ &=\frac{P(\tau \le t_1) - P(\tau \le t) }{1-P(\tau \le t)}, \end{align*} para $t_1 > t \ge 0.

Sea $t_1 = t + \Delta$, para $\Delta$ suficientemente pequeño. Entonces \begin{align*} \frac{1}{\Delta} P(\tau \le t + \Delta \mid \tau > t) &= \frac{P(\tau \le t + \Delta) - P(\tau \le t) }{\Delta \big (1-P(\tau \le t)\big)}\\ &\approx \frac{1}{1-P(\tau \le t)} \frac{\partial P(\tau \le t)}{\partial t}\\ &=-\frac{\partial \ln \big[1-P(\tau \le t)\big]}{\partial t}\\ &=\lambda. \end{align*} De hecho, la tasa de peligro se define formalmente por \begin{align*} \lambda = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta} P(\tau \le t + \Delta \mid \tau > t). \end{align*>

En la literatura, los términos pueden ser mal utilizados. Entonces, debemos prestar atención a las definiciones específicas.