En Hayashi Econometrics, página 207-8, ex3 (ver pista), dice que incluso si un sistema de condiciones de momento de la población (ajuste GMM) está sobreidentificado sigue teniendo una solución, mientras que el sistema de condiciones de momento de la muestra no puede.
Me cuesta entender esto.
Se agradecería cualquier ayuda.
Por cierto, también he publicado esta pregunta en Validación cruzada . Espero que no haya ningún problema.
Edición: Comprueba la respuesta de Jayk en el CV. ;)
Aquí hay una pequeña discusión que puede ayudar.
La versión poblacional tiene solución porque se supone que tiene solución. Puede ver que este es el caso a partir de los supuestos 3.1 (linealidad), 3.3 (condiciones de ortogonalidad) y 3.4 (condición de rango para la identificación). Puede ver la derivación de este hecho a partir de las ecuaciones (3.3.3) y (3.3.4).
Ahora, te darás cuenta de que la versión de la población que tiene una solución implica que $$ \text{rank}\left( \Sigma_{xz} \right ) = \text{rank}\left(\left [\Sigma_{xz} \mid \sigma_{xy} \right ]\right ), $$ como se ha comentado en el ejercicio 5 de la sección 3.3. En la pista observan que la versión poblacional tiene solución cuando $$ \left [\Sigma_{xz} \mid \sigma_{xy} \right ] $$ es de rango $L$ . Si tiene rango $L+1$ no tendrá solución. En la pista, dicen que se trata de un conjunto de "condiciones de igualdad". Esto se refiere al hecho de que una de las columnas debe ser una combinación lineal de las restantes. Esta es una condición muy difícil de satisfacer. En muchos modelos, esta condición se cumplirá con probabilidad cero. Esto se debe a que los datos tienen que salir de forma que la condición de igualdad se cumpla perfectamente.
Por otro lado, la condición de que la versión de muestra $S_{xy}$ de $\sum_{xz}$ ser de rango de columna completo es un conjunto de condiciones de "desigualdad" sobre la matriz. Como son condiciones de desigualdad sobre la matriz, es mucho más fácil que se cumplan por casualidad.
En conclusión, $S_{xy}$ tendrá un rango de columna completo para un tamaño suficientemente grande $n$ porque las condiciones son condiciones de desigualdad que se dan con probabilidad mayor que cero. Sin embargo, para tener una solución necesitamos $\left [S_{xz} \mid s_{xy} \right ]$ tener rango $L$ . Pero como se trata de una condición de igualdad en la matriz, sólo se produce con probabilidad cero.
Buscar palabras clave: Soluciones, Ejercicio 3, sección 3.4 Econometría de Hayashi
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Pues bien, las condiciones del teorema de Weirestrass suelen utilizarse para garantizar una solución. Así que, informalmente, diría que el análogo de la muestra podría no tener solución por falta de acotación o cierre del espacio de parámetros. Normalmente, esto se puede forzar, lo que es problemático es la unicidad y, por tanto, la identificación. El caso de la población es sencillo porque es un objetivo cuadrático minimizado sobre un conjunto de parámetros que se comporta bien (al menos cerrado y acotado y normalmente compacto).
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He publicado una respuesta a esto en la cruz validada: stats.stackexchange.com/a/134056/52022
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Por favor, no hagas envíos cruzados
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¿Intentaste también resolver los ejercicios 1 y 2 de la misma sección? Estoy buscando posibles formas de resolverlos. Para el 2) sugeriría el 0 como solución.