Demostrando la existencia de una función de utilidad

Question

En la teoría microeconómica avanzada de Jehle y Reny, hay una demostración del teorema que establece la existencia de la función de utilidad.

Para probar la existencia de una función de utilidad $u(\mathbf{x})$ que representa la relación binaria $\succeq$ si es completa, transitiva, continua y estrictamente monótona, se sugiere considerar un mapeo.

$u: \mathbb{R_+^n} \to \mathbb{R}$ tal que se cumpla $u(\mathbf{x})e\sim \mathbf{x}$, donde $\mathbf{x}$ es un paquete, $u(\mathbf{x})$ es algún número y $\mathbf{e}$ es un paquete que contiene uno de cada bien.

Entonces primero necesitamos demostrar que siempre existe dicho número $u(\mathbf{x})$. Para hacer esto, considera dos conjuntos:

$A \equiv \{t \geq 0 \mid t\mathbf{e} \succeq \mathbf{x}\}$

$B \equiv \{t \geq 0 \mid t\mathbf{e} \preceq \mathbf{x}\}$

si $t^* \in A \cap B$, entonces $t^*\mathbf{e} \sim \mathbf{x}$, así que necesitamos mostrar que $A \cap B$ no está vacío.

La continuidad de $\succeq$ implica que tanto A como B son conjuntos cerrados en $\mathbb{R_+}$. Por monotonicidad estricta, $t \in A$ implica $t' \in A$, $\forall$ $ t'\geq t$. Entonces $A=[\underline{t}, \infty)$. De manera similar, $B=[0, \overline{t}]$

Para cualquier $t \geq 0$, la completitud de $\succeq$ implica que ya sea $t\mathbf{e} \succeq \mathbf{x}$ o $t\mathbf{e} \preceq \mathbf{x}$, es decir, $t \in A \cup B$

$\mathbb{R_+} = A \cup B = [0, \overline{t}] \cup [\underline{t}, \infty)$.

Por lo tanto, para que $A \cap B$ sea no vacío, debe ser que $\underline{t} \leq \overline{t}$.

Pero ¿siempre es así? No puedo ver por qué la última desigualdad debería cumplirse siempre.

Answer 1

Saca este de la cola de Sin responder:

La propiedad de completitud de la relación de preferencia, implica que para todo no negativo $t$ podremos formar y declarar la relación de preferencia. Por lo tanto

$$A \cup B = \mathbb{R_+}$$

Por monotonicidad tenemos que $B=[0, \overline{t}],\;\; A=[\underline{t}, \infty)$.

Ad absurdum, supongamos que $\overline{t} < \underline{t}$. Entonces existe un intervalo abierto $(\overline{t},\underline{t})$ que no pertenece a la unión de $A$ y $B$. Pero entonces llegamos a $A \cup B \neq \mathbb{R_+$ lo cual contradice las implicaciones de la propiedad de completitud.

Así que concluimos que $\overline{t} \geq \underline{t}$, lo que implica que la intersección $A \cap B$ no está vacía (incluso si puede contener un solo elemento, cuando $\overline{t} = \underline{t}$).