PDF Cálculo de la Inversión de la transformada de Fourier de la Función Característica para Afín a la Intensidad del Proceso en Matlab

Question

Estoy tratando de utilizar la transformada de Fourier de la inversión de la fórmula para trazar el PDF de un Afín Estocástica de la Intensidad de la Forma Reducida de Crédito del Modelo, dada su función característica.

La función característica de un afín proceso $\lambda(t)$ es comúnmente dado como

$$\phi_{\lambda(t)}(u) = \mathrm{E}[e^{ui\lambda(t)}] = \exp(A(t-s,ui)+B(t-s,ui)\lambda(s))$$

La transformada de Fourier de la inversión de la fórmula para el PDF

$$f_{\lambda(t)}(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^\infty \mathrm{\Re}[e^{-iux}\phi_{\lambda(t)}(u)]du$$

Tomando un CIR proceso (soy consciente de que CIR tiene un $\chi^2$ de Forma Cerrada PDF y el uso de CIR aquí es sólo para la ilustración), que ha coeficientes:

$$A(T)=\frac{2\kappa\theta}{\sigma^2}\log\left(\frac{2\gamma e^{\frac{1}{2}(\kappa+\gamma)T} }{(\kappa+\gamma)(e^{\gamma T}-1)+2\gamma}\right)$$

$A$B(T)=\frac{2 (e^{\gamma T}-1) }{(\kappa+\gamma)(e^{\gamma T}-1)+2\gamma}$$

En la secuencia de comandos de matlab, a continuación, utilizando la cuadratura de la integral, I (intentar) calcular el PDF en el $\lambda$-puntos X = (0:0.005:0.1) para T=1 con el código de abajo.

Claramente hay un problema, aunque (muy probablemente con fcnPhi por debajo ) - le agradecería cualquier ayuda aquí

kappa = .07;
theta = .2;
sigma = .06;
lambda0 = .06;
T = 1;
gamma = 1;

A = ((2*kappa*theta)/(sigma^2))* log(2*gamma*exp(0.5*(kappa+gamma)*(T))./((kappa+gamma)*(exp(gamma*(T))-1)+2*gamma));
B = 2*(exp(gamma*(T))-1)/((kappa+gamma)*(exp(gamma*(T))-1)+2*gamma);

fcnPhi = @(u)( exp(u.*(A + B*lambda0)) );

X = (0:0.005:0.1)';
for i = 1:size(X,1)
    x = X(i);
    fcnPdfIntgrl = @(u)( real( exp(-1i.*u.*x) .* fcnPhi(u) ) );
    pdf_X(i,1) = (1/pi) * integral(fcnPdfIntgrl,0,10000);
end
plot(X,pdf_X);

Answer 1

Necesidad de resolver las Ecuaciones de Riccati con Complejo de las Condiciones de Contorno para la Función Char, no general la forma cerrada de la solución (aparte de los "Básicos" Afín modelo, CIR, etc) a la Duffie http://www.mit.edu/~junpan/dps.pdf

Solución para CIR a continuación

kappa = 2;
theta = .05;
sigma = .02;
lambda0 = .03;
T = 1;

X = (0.03:0.001:0.07)';

c = 2*kappa/(sigma^2*(1 - exp(-kappa*T))); % Scaling Factor
q = 2*theta*kappa/sigma^2 - 1; % Deg-of-Freedom
u = c*exp(-kappa*T)*lambda0;
v = c*X;

pdf_1 = 2*c*ncx2pdf(2*v,2*q+2,2*u);

fcnA = @(u)( -(2*kappa*theta/(sigma^2)) * log( 1 - ((sigma^2)/(2*kappa)) .* 1i.*u.*(1-exp(-kappa*T)) )  );
fcnB = @(u)( (1i.*u.*exp(-kappa*T)) ./ (1 - ((sigma^2)/(2*kappa)).*1i.*u.*(1-exp(-kappa*T)) ) );
fcnPhi = @(u)( exp( fcnA(u) + fcnB(u)*lambda0 ) );

pdf_2 = NaN(size(X));
for i = 1:size(X,1)
    x = X(i);
    fcnPdfIntgrl = @(u)( real( exp(-1i.*u.*x) .* fcnPhi(u) ) );
    pdf_2(i,1) = (1/pi) * integral(fcnPdfIntgrl,0,Inf,'RelTol',1e-10,'AbsTol',1e-10);
end


subplot(6,1,1:2);
plot(X,pdf_1);
title('Probability Density Function by \chi^2');
subplot(6,1,3:4);
plot(X,pdf_2);
title('Probability Density Function by Fourier Inversion of CF');

U = (0:10:4000);
subplot(6,1,5);
plot(U,real(fcnPhi(U)));
title('Characteristic Function');
subplot(6,1,6);
plot(U,fcnPdfIntgrl(U));
title('Fourier Inversion Integrand');