Optimización de la media-CVaR de Rockafellar-Uryasev

Question

En Documento Rockafellar-Uryasev 2001 la optimización de la media-CVaR puede escribirse como un problema de optimización de programación lineal como

$$P_{\text{CVaR}} = \arg \min_w \text{VaR}_\alpha+\frac{1}{(1-\beta)S}\sum_{s=1}^{S}y_s $$ con sujeción a: $$y_s \geq f(\mathbf{w},\mathbf{r_s})-\text{VaR}_\alpha$$ $$y_s\geq 0$$ donde $$y_s = [f(\mathbf{w},\mathbf{r_s})-\text{VaR}_\alpha]^+$$ Tengo dos preguntas sobre esta optimización:

1. ¿Cómo se computa el VaR? o mientras se programa la optimización el usuario tiene que programar la forma en que se va a computar el VaR. Aquí ( http://past.rinfinance.com/agenda/2009/yollin_slides.pdf ) es un código en R para hacer la optimización pero no veo por ningún lado el cálculo del VaR.
2. ¿No es obvia la primera restricción? dada la definición de $y_s$ o mi comprensión de $y_s$ es incorrecto?

Answer 1

1. $VaR_\alpha$ es una variable de elección escalar en el problema de minimización. En el documento de Rockafeller-Uryasev, se llama simplemente $\alpha\in R$ . (Por ejemplo, el programa descrito en el Teorema 2 de ese documento, o el problema de programación descrito después de la ecuación (17); alternativamente, observe la estructura del vector de elección $x$ en la página 16 de las diapositivas de Yollin). $VaR_\alpha$ es, por tanto, un subproducto de la resolución del problema.
2. El hecho de que $y_{s}=[f(w,rs)VaR_\alpha]^{+}$ es también un subproducto de la solución del problema; no se impone. Más bien, el $y$ es una variable auxiliar de elección. (Su $y$ desempeña el papel de $d$ en las diapositivas de Yollin, que están incrustadas en el vector de elección $x$ en la página 16). Las restricciones imponen la igualdad implícitamente. Pero si esa igualdad se impusiera directamente en el programa, el conjunto de restricciones no sería convexo (el problema no sería de programación lineal), y la solución se complicaría mucho.