¿Cuál es el diferenciales estocásticas de un general semimartingale?

Question

Mediante el uso de la representación canónica de un semimartingale en Eberlein, Glau y Papapantoleon del "Análisis de la transformada de Fourier de Valoración de Fórmulas y Aplicaciones", en la página 3:

$$H = B + H^c + h(x) \ast (\mu \nu) + (x − h(x)) \ast μ$$

donde:

• $h = h(x)$ es un truncamiento de la función,
• $B = (B_t)_{0 \leq t \leq T}$ es un proceso predecible de variación acotada,
• $H^c = (H^c_t )_{0 \leq t \leq T}$ es la continua martingala parte de $H$, con predicción cuadrático característica,
• $\langle H^c \rangle = C$ y $\nu$ es la predicción del compensador de que el azar medida de salta $m$ de $H$.

Aquí, $W \ast m$ denota el proceso integral de $W$, con respecto a $m$ y $W \ast (μ − \nu)$ denota la integral estocástica de $W$, con respecto a la compensación al azar de la medida $μ − \nu$.

Quiero encontrar un SDE para $H_t$.

¿Cuál es el diferenciales estocásticas para $H_t$, $dH_t$?

Es posible el uso de un Feynman-Kac tipo de fórmula para obtener el PDE para la función característica de $H_t$?

Answer 1

Si no me equivoco, la de Feynman-Kac fórmula está relacionado con la prueba de Kolmogorov atraso de la ecuación, así que yo esperaría a estar disponible sólo para los procesos de Markov. Diffusions son generalmente de Markovian tipo, en contraste con Ito general de los procesos o de más decir que, en general semimartinagales. Intuitivamente, el PDE/PIDE/... va a describir la dinámica de la distribución/expectativa en el tiempo basado en la estructura espacial actual: $$\frac{\partial f}{\partial t} = Af \etiqueta{1}$$ donde $A$ es un operador lineal (diferencial en el caso de la difusión, integro-diferencial para saltar-diffusions). La dependencia del tipo $(1)$ ciertamente sugerencias sobre la Markovian estructura, así que yo no esperaría útil F-K fórmulas de estar disponible para la general semiartingales. Yo digo que útil, ya que siempre se puede incluir toda la historia del proceso que como un estado tratando de expresar esto como un proceso de Markov, pero a través de un agrandamiento de espacio de estado, no creo que los F-K sería de cualquier uso, incluso a pesar de estar disponible.

Con respecto a los diferenciales estocásticas, como de costumbre diferencial usted está tratando de descomponer una función dinámica w.r.t. otro. Es decir, $dH_t$ es un diferenciales estocásticas en su propia, y que puede ser utilizado como un integrador por la teoría de semimartingale estocástico de integración. Otra cuestión es si $df(H_t)$ puede ser expresada en términos de $H_t$. Esto es cierto, ver la fórmula de Ito en el Teorema 2.7.1 aquí.