Yo no proporcionan referencias que cubre explícitamente esto, pero vino a través de una pregunta similar antes y trabajó algunos resultados. A continuación una breve descripción de mis hallazgos.
En resumen, se puede demostrar que las dos distribuciones en virtud de la cuenta bancaria y el punto de activos numeraire son las mismas que si el modelo logarítmico devuelve a seguir una mezcla de exponenciales naturales de las familias.
Mezclas Naturales Exponencial De Las Familias
La función de densidad de la inclinación de Laplace de la distribución en su pregunta puede ser re-escrita como
\begin{eqnarray}
f(x; s) & = & \frac{1 - s^2}{2 (1 - s)} (1 - s) e^{(1 - s) x} \mathrm{1} \{ x \leq 0 \} \\
& & + \frac{1 - s^2}{2 (1 + s)} (1 + s) e^{-(1 + s) x} \mathrm{1} \{ x > 0 \}.
\end{eqnarray}
Se nota que este es una mezcla ponderada de distribución de más de dos exponenciales naturales para las familias $f_\pm \left( x; \theta_\pm \right)$ con los parámetros de $\theta_\pm$ y pesos $w_\pm$, es decir,
\begin{ecuación}
f(x; s) = w_ - f_- \left( x; \theta_- \derecho) + w_+ f_+ \left( x; \theta_+ \derecho).
\end{ecuación}
La parte inferior de la cola puede ser expresado como
\begin{ecuación}
f_- \left( x; \theta_- \derecho) = a_-(x) \exp \left\{ \theta_ - x - b_-\left( \theta_- \derecho) \derecho\}
\end{ecuación}
donde definimos $\theta_- = 1 - s$,
\begin{ecuación}
a_-(x) = \mathrm{1} \{ x \leq 0 \}, \qquad b_- \left( \theta_- \derecho) = -\ln \left( \theta_- \derecho)
\end{ecuación}
y el peso
\begin{ecuación}
w_- = \frac{1 - s^2}{2(1 - s)}
\end{ecuación}
Podemos encontrar una expresión similar para la parte superior de la cola y su peso. Las correspondientes funciones características están dadas por
\begin{ecuación}
\phi_\pm \left( \omega; \theta_- \right) = \exp \left\{ b_\pm \left( \theta_\pm + \mathrm{i} \omega \derecho) - b_\pm \left( \theta_\pm \derecho) \derecho\}
\end{ecuación}
Para mantener la respuesta en breve, sólo nos enfocamos en la parte inferior de la cola va hacia adelante y la caída de la $\pm$ subíndices.
Esscher Transformar La Probabilidad De Medir
Considere una muestra aleatoria de la variable $X$ cuya legislación en $\mathbb{P}$ está dada por $F_X(x)$, con carácter correspondiente de la función $\phi_X(\omega)$. Siguiente Esscher (1932), el Esscher transformar medida $\hat{\mathbb{P}}(\beta)$ equivalente a $\mathbb{P}$ se define a través de la Radon-Nikodym derivados
\begin{ecuación}
\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbb{P}}}{\mathrm{d}\mathbb{P}} = \frac{e^{\beta X}}{\phi_X(-\mathrm{i} \beta)}
\end{ecuación}
para algunos transformar parámetro $\beta \in \mathbb{R}_+$ y condicional en el $\beta$-th exponencial momento en el denominador de ser finito. Véase también Gerber y Shiu (1994). La correspondiente función característica es
\begin{ecuación}
\hat{\phi}_X(\omega) = \mathbb{E}_\mathbb{P} \left[ e^{\mathrm{i} \omega X} \derecho] = \mathbb{E} \left[ \frac{\mathrm{d}\hat{\mathbb{P}}}{\mathrm{d}\mathbb{P}} e^{\mathrm{i} \omega X} \right] = \frac{\phi_X(\omega \mathrm{i} \beta)}{\phi_X(-\mathrm{i} \beta)}
\end{ecuación}
Escher Transformación Exponencial de las Familias
Ahora es fácil demostrar que si algún azar de la variable $X$ de la siguiente manera natural exponencial de la familia en $\mathbb{P}$ con el parámetro $\theta$, entonces
\begin{ecuación}
\hat{\phi}_X(\omega) = \exp \left\{ b(\theta + \beta + \mathrm{i} \omega) - b(\theta + \beta) \derecho\}.
\end{ecuación}
Por lo tanto, $$ X sigue el mismo natural exponencial de la familia debajo de los $\hat{\mathbb{P}}$, pero con el parámetro $\hat{\theta} = \theta + \beta$.
Enlace a Cambio de Numeraire
Suponga que el precio del activo es modelado como
\begin{ecuación}
S_t = S_0 e^{\gamma T + b \sqrt{T} X},
\end{ecuación}
donde $\gamma$ es tal que
\begin{ecuación}
\mathbb{E}_\mathbb{P} \left[ S_t \derecho] = S_0 e^{r}.
\end{ecuación}
A continuación, el cambio de numeraire de la cuenta bancaria para el spot de activos corresponde a un Esscher transformar con el parámetro $\beta = b \sqrt{T}$.
En tu ejemplo, por lo tanto tenemos $\hat{\theta}_- = \theta_- + b \sqrt{T}$ y $\hat{s} = s - b \sqrt{T}$.
Comentarios
Tenga en cuenta que los pesos de $\hat{w}_i$ bajo $\hat{\mathbb{P}}$ de cambiar también. He omitido los detalles aquí por razones de brevedad.
Un resultado similar puede obtenerse al considerar salto-modelos de difusión donde el salto de la distribución del tamaño de la siguiente manera natural exponencial de la mezcla. Un ejemplo destacado es la Kou (2002) doble exponencial salto-modelo de difusión. El resultado puede ser más generalizado aditivo de salto-los procesos de difusión con potencialmente dependiente del tiempo de salto-intensidades y saltar-distribuciones de tamaño.
Referencias
Esscher, Frederik (1932) "En la Función de Probabilidad en el Colectivo de la Teoría del Riesgo," Escandinavo Actuarial de la Revista, Vol. 15, Nº 3, pp 175-195
Gerber, Hans U. y Elias W. Shiu (1994) "la Opción de fijación de Precios por parte de Esscher Transforma," Transacciones de la Sociedad de Actuarios, Vol. 46, pp 99-191
Kou, Steven G. (2002) "Un Salto de Difusión del Modelo de Precios de opciones," Gestión de la Ciencia, Vol. 48, Nº 8, pp 1086-101
