Cambio de la medida del impacto en el valor del parámetro

Question

Esta es una pregunta de seguimiento en el Precio de un pago basado en la demanda.

Considere la posibilidad de un bono cupón cero de la madurez $T$, con precio de $P_0$ para que el prestatario puede reembolsar el principal $N$ en cualquier momento $\tau$ entre $0$ excluidos y $T$ incluido. Suponiendo un riesgo constante tasa de interés libre de $r$, el precio de esta afirmación es el dado por el riesgo-neutral expectativa de su rentabilidad:

$$P_0 = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[N\left(\mathbb{I}_{\{\tau \leq T\}}e^{-i\tau}+\mathbb{I}_{\{\tau>T\}}e^{-rT}\derecho)\right]$$

Para modelar el tiempo de parada de $\tau$, se introduce un proceso de Poisson homogéneo $N(t)$ parametrizarse por $\lambda > 0$ tal que para $t \in \mathbb{R}_+^*$ e $n \in \mathbb{N}$:

$$ \mathbb{P}(N(t) = n) = \frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}$$

Vamos $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$ se la filtración natural asociado al proceso $N(t)$. El tiempo de parada de $\tau$ con respecto a la filtración $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$ entonces se define como:

$$ \tau = \min \{t>0 : N(t)>0 \}$$

Obtenemos el tiempo de parada de la distribución:

$$ \begin{align} & \mathbb{P}(\tau > t) = \mathbb{P}(N(t) = 0) = e^{-\lambda t} \\[8pt] & \mathbb{P}(\tau \leq t) = 1 - e^{-\lambda t} \end{align} $$

Por lo tanto como se esperaba:

$$ \tau \sim \mathcal{E}(\lambda) $$

Ahora, mi pregunta se refiere al efecto de un cambio de la medida $-$ desde el mundo real probabilidad de $\mathbb{P}$ para el riesgo-neutral de la medida $\mathbb{Q}$ $-$ en el parámetro $\lambda$. Por ejemplo, en el modelo Black-Scholes, la canónica de cambio de la medida modifica el activo $S_t$ deriva de $\mu$ a $r$ pero no tiene ningún impacto en el coeficiente de difusión $\sigma$.

Estoy familiarizado con la teoría, pero no muy familiarizado con los aspectos prácticos del cambio de la medida de la técnica, así que realmente no saben cómo hacer frente a este problema aquí. Podría alguien por favor explique si:

1. No habría ningún impacto en $\lambda$ al pasar de $\mathbb{P}$ a $\mathbb{Q}$?
2. Es mi problema de fijación de precios suficientemente especificado anteriormente o si hay alguna información adicional para responder a la pregunta 1?

Nota: por favor, si usted piensa que hay un impacto no publicar la derivación, pero una sugerencia sobre cómo proceder.

---

Un primer intento:

La propiedad fundamental de la riesgo-neutral medida, es que (Brigo & Mercurio, 2007):

El precio de cualquier activo, dividido por una referencia positiva no paga dividendos de activos (llamado numeraire) es una martingala (sin desplazamiento) en virtud de la medida asociada con la numeraire.

Ahora, en mi configuración no estoy muy seguro de lo que sería considerado el "activo": mi conjetura es que sería el proceso de Poisson $N(t)$. Por lo tanto, dejar $s<t$ tendríamos:

$$ \begin{align} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-rt}N(t)|\mathcal{F}_s\derecho] & = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-rt}N(s)|\mathcal{F}_s\derecho] + \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-rt}(N(t)-N(s))|\mathcal{F}_s\derecho] \\[10] & = e^{-rt}N(s) + \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-rt}(N(t)-N(s))\right] \\[10] & = e^{-rt}N(s) + e^{-rt}\lambda(t-s) \\[10] & = e^{-rt}\left(N(s) + \lambda (t-s)\derecho) \end{align} $$

En el segundo paso de la siguiente manera a partir de los incrementos independientes de la propiedad del proceso de Poisson. Dado que queremos:

$$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-rt}N(t)|\mathcal{F}_s\derecho] = e^{-rs}N(s) $$

Tengo la impresión de que la implícita - es decir, bajo el riesgo-neutral medir el parámetro lambda $\tilde{\lambda}$ debe ser:

$$ \tilde{\lambda} \equiv \tilde{\lambda}(r,s,t) = N(s)\frac{e^{i(t-s)}-1}{t-s} $$

Un par de preguntas vienen a la mente:

• Es mi razonamiento correcto aquí?
• ¿Tiene sentido definir el parámetro en términos del proceso? Mi conjetura es que no, dado que $\tilde{\lambda}(r,0,t) = 0$ porque $N(0)=0$...
• Qué suponer un problema para ir de una constante $\lambda$ bajo el mundo real de la medida $\mathbb{P}$ a una funcional, $\tilde{\lambda}(r,s,t)$ bajo el mundo real de la medida $\mathbb{Q}$?

Un segundo intento:

Usando la misma lógica, yo ahora aprovechan la propiedad de la compensado proceso de Poisson es una martingala:

$$ \begin{align} & N_c(t) \equiv N(t) - \lambda t \\[10] & \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[N_c(t)|\mathcal{F}_s\derecho] = N_c(s) \end{align} $$

Sin embargo, cuando me de descuento que (obviamente) obtener:

$$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-rt}N_c(t)|\mathcal{F}_s\derecho] = e^{-rt}N_c(s) $$

Y por lo tanto estoy pegado de nuevo.

Answer 1

La teoría de la

Definir una moneda única economía con $N+1$ negociables activos. Suponga que invertir individualmente en cada uno de estos activos constituye una auto-financiación de la estrategia. En pocas palabras, esto equivale a considerar que los activos de nuestro modelo de economía de no distribuir el capital en forma de dividendos o cupones.

Vamos a $S_1, \dots, S_N$ representan $N$ activos de riesgo y $S_0$ un riesgo-libre. Una práctica común es elegir $S_0$ como el activo de referencia para definir el marco de fijación de precios. Decimos que $S_0$ es elegida como la fijación de precios "numéraire" (pero podríamos elegir cualquier otro negocian los precios de los activos como numéraire sin pérdida de generalidad).

La teoría de precios, a continuación, nos dice que, en ausencia de oportunidades de arbitraje, los procesos $$ S_{1,t}/S_{0,t}, \dots, S_{N,t}/S_{0,t} $$ de todo debe surgir como martingales en virtud de una medida $\Bbb{Q}$, que es equivalente a la medida física $\Bbb{P}$ en virtud de la cual podemos observar las realizaciones de los precios de los activos de nuestro modelo de economía.

Intuitivamente, esto significa que el valor relativo de todos los activos con respecto a algunos activo de referencia (el numéraire) deben ser martingales que es un modelo de una "feria de la evolución del mercado.

Porque elegimos $S_0$ (libre de riesgo de los activos) como numéraire, la medida $\Bbb{Q}$ es conocido como el riesgo-neutral medida.

Su problema

Supongamos que un principal $N=1$ para mantener anotaciones ordenadas. Tiene 2 activos negociados:

• Libre de riesgo de los activos, $dP_t/P_t = r dt$
• Instrumento para el precio, $V_t$, que se caracteriza por su liquidación, la cual es de 1 unidad de la moneda y la que se produce en la madurez $T$ o cuando se produzca un determinado evento en $\tau < T$. Por la ausencia de arbitraje, esto significa que $V_\tau=1$ si la amortización anticipada se produce y $V_T=1$ de otra manera.

La aplicación de la teoría de precios descrito anteriormente $V_t/P_t$ (o en realidad aquí el proceso detenido $V_t^\tau/P_t^\tau$ pero esto es un tecnicismo) debe ser una martingala (véase también la parada óptima teorema), es decir, \begin{align} V_0 &= \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} \left[ V_\tau/P_\tau \mathbb{I}_{\{\tau \leq T\}} + V_T/P_T \mathbb{I}_{\{\tau > T\}} \right] \\ &= \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} \left[ e^{-i\tau} \mathbb{I}_{\{\tau \leq T\}} + e^{-rT} \mathbb{I}_{\{\tau > T\}} \right] \end{align}

Comentarios

En cuanto a tu lado las preguntas de ir, todo depende de donde el proceso de conteo de $N_t$ interviene. En su caso, se utiliza para especificar un tiempo de parada. Por lo tanto es exógena a la especificación del modelo de economía. Esta es la razón por la que nos llega a la conclusión de que por encima de $\lambda$ es el mismo en $\Bbb{P}$ y $\Bbb{Q}$.

Sin embargo, se podría considerar que su rentabilidad es "degenerado", en el sentido de que podamos construir una versión más general de lo que iba a entregar un pago proporcional al valor de otros activos $S$ en lugar de sólo $1$ unidad de moneda. Desde allí, nos deja distinguir 2 situaciones:

• Situación 1: $dS_t/S_t = \mu dt + \sigma dW_t^\Bbb{P}$. La aplicación de la teoría descrita anteriormente se llega a una muy similar de precios ecuación a saber: $$ V_0 = \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} \left[ e^{-i\tau} S_{\tau} \mathbb{I}_{\{\tau \leq T\}} + e^{-rT} S_T \mathbb{I}_{\{\tau > T\}} \right] $$ y del mismo modo, porque ahora $S$ es también el comercio de activos, por debajo de los $\Bbb{Q}$ tendrás: $$ dS_t/S_t = r dt + \sigma dW_t^\Bbb{Q} $$ que la básicamente la SDE forma de la relación (ver martingala representación teorema + Itô del lema) $$ S_t/P_t \text{ es } \Bbb{Q} \text{ martingala } $$
• Situación 2: $dS_t/S_t = \mu dt + \sigma dW_t^\Bbb{P} + J dN_t^\Bbb{P}$. Ahora puedes ver que el proceso de Poisson se convierte en parte de la especificación de los activos de la dinámica de precios en el modelo de economía (endógenos). En ese caso, porque $S_t/P_t$ debe ser un $\Bbb{Q}$ martingala en nuestro marco de fijación de precios, tenemos: $$ dS_t/S_t = (r-\lambda\Bbb{E}[J])dt + \sigma dW_t^\Bbb{Q} + J dN_t^\Bbb{Q} $$ así que, de hecho, la deriva de los activos de riesgo se han cambiado (teorema de Girsanov -> tanto la deriva parámetro del movimiento Browniano y el parámetro de la intensidad del proceso de Poisson son alterados por el cambio de la medida). Y, todavía, $$ V_0 = \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} \left[ e^{-i\tau} S_{\tau} \mathbb{I}_{\{\tau \leq T\}} + e^{-rT} S_T \mathbb{I}_{\{\tau > T\}} \right] $$ Pero ahora $S_t$ tiene una dinámica diferente a la que en la situación 1.