Estoy tratando de determinar la fórmula de fijación de precios para una determinada reivindicación inspirado en el prepago de obligaciones respaldadas por sus carteras de préstamos hipotecarios $-$ creo que estos eran populares en la década de los ochenta.
El producto mecanismo es el siguiente: considere la posibilidad de una hipoteca subyacente de principal de $N$, que es contratado en $t=0$ y que debe ser reembolsado a los $t=T$, a partir de la cual el pago de capital ha sido despojado de los pagos de intereses $-$ por lo tanto esencialmente estamos considerando la posibilidad de un bono cupón cero a pagar $N$ a $T$. Sin embargo, el prestatario tiene la opción de pagar por adelantado el importe total en cualquier momento $t$ entre $0$ y $T$. El comprador del producto, a continuación, recibirá la cantidad de $N$ cuando el prestatario decide pagar.
Ahora, vamos a definir el tiempo de parada de $\tau$ como el momento en el que el prestatario decide pagar por adelantado. Por ejemplo, se podría asumir que el prestatario pagará y posteriormente refinanciar su hipoteca, si la hipoteca de la tasa de interés de referencia $r(t)$ disminuye por debajo de cierto nivel $L$. En tal caso, tendríamos:
$$\tau = \min\{t: r(t) \leq L, \: 0\leq t\leq T\}$$
Mi pregunta es: es el precio de esta afirmación en $0$, $P_0$, dado por la siguiente neutrales al riesgo expectativa?
$$P_0 = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[N\left(\mathbb{I}_{\{\tau<T\}}e^{-\int_0^{\tau}r(t)dt}+\mathbb{I}_{\{\tau\ geq T\}}e^{-\int_0^{T}r(t)dt}\derecho)\right]$$
Mi duda está relacionada principalmente con el primer factor de descuento, que va desde $0$ a $\tau$.
