El Teorema de Bayes, con el cambio de la medida

Question

Tomas de bjork - arbitraje de la teoría en tiempo continuo. El apéndice B, la proposición B41 dice:

La prueba no es claro para mí.

Gracias a Gordon comentario debajo de $E^P (X/G)$ ser $G$ medibles, creo que la parte donde Bjork parece implicar que

$E^P (X/G) . E^P (L/G) = E^P[(L. E^P(X/G))/G]$

es válido desde $E(x.s/\tau) = yE(x/\tau)$ si $y$ es $\tau$ medibles.

Sin embargo, en el siguiente paso, Bjork parece decir

$E^P[(L. E^P(X/G))/G] = L. E^P(X/G)$

¿Por qué habría de ser esto válido?

Por otra parte la RHS parece implicar

$E^P[(L. X)/G] = L. X$

¿Por qué es esto válido?

Answer 1

El último es válido, ya que se trata de una definición de relación de la esperanza condicional. Ane también tenemos $\frac{dQ}{dP} = Z$ y eso implica que $dP \thinspace Z = dQ$. Y esta es la última ecuación.

Vamos a considerar la primera ecuación: $\mathbb{E}^P[L \thinspace \mathbb{E}^P(X | G) \thinspace | \thinspace G] = L \thinspace \mathbb{E}^P(X | G)$

Como se dijo antes, $\mathbb{E}^P(X | G)$ es G-medible, entonces podemos tomar esta expresión antes de que toda la esperanza condicional y de nuevo utilizamos la definición de relación de la esperanza condicional $\int_{G} \mathbb{E}(L | G) dP = \int_{G} L dP$