Optimización robusta-bayesiana en el marco de Markowitz

Question

Supongamos que estamos en el escenario de optimización de la media-varianza con un vector de rendimientos $\alpha$ y un vector de ponderaciones de la cartera $\omega$ .

En un entorno robusto, se supone que los rendimientos se encuentran en alguna región de incertidumbre. Me encontré con un documento que permite que esta región, llamada $U$ sea dada por la esfera centrada en $\alpha$ con radio $\chi|\alpha|$ donde $\chi$ está entre 0 y 1.

A continuación, los autores centran su atención en:

$\min_U r_{p}$

y terminar con la siguiente solución:

$\min_U r_{p}=\alpha^\intercal\omega-\chi|\alpha||\omega|$ ... ... ... (1)

No dan muchos detalles sobre cómo llegan a esto, pero mencionan lo siguiente "esta región de incertidumbre corresponde a una vecindad de un sigma bajo una prioridad bayesiana de una incertidumbre $\alpha$ distribuido normalmente sobre la estimación $\alpha$ con $\sigma=\chi|\alpha|$ ..."

¿Alguien sabe cómo han podido llegar a la ecuación (1)? Gracias de antemano.

Answer 1

En la optimización robusta, no se conoce el verdadero rendimiento, sino que se tiene una idea previa $\alpha$ y hay que tener en cuenta una posible estimación errónea que puede rebajar la rentabilidad real. Esto se hace bajo el supuesto de que la rentabilidad posterior estará dentro de la rentabilidad anterior $\alpha$ más menos el error de estar en algún $\sigma$ -intervalo.

Ahora un intento de respuesta más formal: El vector de retorno posterior se estima como

$\vec{\alpha} +\vec{\chi}\cdot|\alpha|$ (1)

con $|\vec{\chi}|\leq 1$ o, por el contrario $\vec{\chi}^{2} \leq 1$ . Esto describe exactamente una esfera alrededor de $\vec{\alpha}$ . Ahora el retorno es el producto del vector retorno $\vec{\alpha}+\vec{\chi}\cdot|\alpha|$ por el vector de pesos $\vec{\omega}$ :

$r=(\vec{\alpha}+\vec{\chi}\cdot|\alpha|)\cdot\vec{\omega}=\alpha^{T}\omega+\chi^{T}\omega|\alpha|$ . (2)

Aquí, $\vec{\chi}$ puede tener cualquier orientación. Queremos el mínimo del segundo término. $\alpha^{T}\omega$ es mínimo si $\vec{\alpha}$ y $\vec{\omega}$ miran en sentido contrario (propiedad del producto punto), por lo que

$\min_U r_P=\alpha^{T}\omega-\chi|\alpha| |\omega|$ . (3)

El primer término es simplemente el producto punto de $\vec{\alpha}$ y $\vec{\omega}$ por lo que se puede escribir como $|\alpha||\omega|\cos(\phi)$ donde $\phi$ es el ángulo entre los dos vectores (en n dimensiones). Esta es la siguiente ecuación del documento de trabajo de Golts y Jones:

$\min_U r_P=|\alpha||\omega|(\cos(\phi)-\chi)$ . (4)