Demostrando que la ausencia de arbitraje no implica la ley del único precio

Question

Estoy tratando de demostrar que la afirmación de ausencia de arbitraje (AOA) no necesariamente implica la ley de un precio (LOP). Para las definiciones de estos conceptos estoy utilizando el libro de Cochrane "Asset pricing".

Por definición un espacio de pagos $X$ y una función de precios $p(x)$ no dejan oportunidades de arbitraje si para cualquier $x\geq0$ casi seguramente, y $x > 0$ con probabilidad distinta de cero, $p(x) > 0$.

De manera equivalente: si $x$ domina a $y$ – es decir, $x\geq y$ casi seguramente, con $x > y$ con probabilidad positiva – entonces $p(x) > p(y)$.

La ley de un precio dice que podemos escribir $$p(ax_1+bx_2)=ap(x_1)+bp(x_2)$$

Ahora, no sé cómo abordar este problema. ¿Debería intentar demostrar que la positividad de los precios (AOA) no necesariamente implica una función de precios lineal? ¿Puedes ayudarme a entender cuál sería una buena estrategia de ataque en este caso?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Sea $X$ dotado con el siguiente orden parcial: $y \geq x$ significa que $\Bbb P(y\geq x) = 1$. La condición AOA en su caso establece que la ley de precios $p$ es estrictamente creciente con respecto a $\geq$, mientras que LOP dice que $p$ es una función lineal. Ninguna de las dos implica la otra en general. Por ejemplo, si $X = \Bbb R$ entonces $p(x) = x^3$ es una función estrictamente monótona creciente que no es lineal.