¿Cuál es la probabilidad de que el proceso aritmético OU $dx_t= \theta(\mu-x_t)dt+\sigma dW_t$ golpea la barrera $U$ antes de golpear la barrera $L$ cuando $L<x_0<U$ ?
Gracias, le echaré un vistazo. Pero, ¿es $\beta$ destinado a ser $\sigma$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Suponiendo que $\theta>0$ (toma $\tilde{X}=\mu-X$ si no es el caso)
Denotemos $\text{erfi}(x)$ la función de error imaginario Denotemos $\tau_L$ resp. $\tau_U$ el tiempo de impacto de $L$ resp. $U$ donde $L<U$
1) Utilizando el lema de Ito, demuestre que : $$Y_t = \text{erfi}\left(\sqrt{\frac{\theta}{\sigma^2}}\left(X_t-\mu\right)\right) \text{ is a martingale}$$
2) Utilizando el teorema de la parada óptima, demuestre que : $$\mathbb{P}(\tau_L\leq \tau_U) = \frac{\text{erfi}\left(\sqrt{\frac{\theta}{\sigma^2}}\left(x_0-\mu\right)\right)-\text{erfi}\left(\sqrt{\frac{\theta}{\sigma^2}}\left(U-\mu\right)\right)}{\text{erfi}\left(\sqrt{\frac{\theta}{\sigma^2}}\left(L-\mu\right)\right)-\text{erfi}\left(\sqrt{\frac{\theta}{\sigma^2}}\left(U-\mu\right)\right)}$$
