Compatibilidad de incentivos

Question

Tengo un conjunto de objetos $A=\{a_1,a_2,a_3, \cdots ,a_m\}$ y un jugador, que propone un vector de valoraciones $t=(t_1~t_2~t_3~ \cdots ~t_m)$ para el $m$ objetos. $T$ es el conjunto de todos esos tipos de valoración. Dado $T$ Diseño una función de asignación $$f:T \rightarrow [0,1]^m$$ y una función de pago $$p:T \rightarrow \mathbb {R}$$ El mecanismo $(f,p)$ se dice que es Incentivo compatible si $$t(f(t))-p(t) \geq t(f(t'))-p(t')~~ \forall t,t' \in T~~(1)$$ De la anterior ecuación se puede deducir fácilmente que la compatibilidad de los incentivos implica lo siguiente: $$t(f(t))+t'(f(t')) \geq t(f(t'))+t'(f(t))~~~~(2)$$ eso es, $(1) \Rightarrow (2)$ .

¿Es lo contrario ( $(2) \Rightarrow (1)$ ) ¿verdad?

Answer 1

En primer lugar, la forma general del problema que tienes es extremadamente exigente. En los problemas de cribado multidimensional, analíticamente a menudo se desata el infierno en el sentido de que simplemente no es tratable. Una salida podría ser este enfoque reciente de Gabriel Carrol: Robustez y separación en el cribado multidimensional (también proporciona una introducción que insinúa la intratabilidad del problema).

Volviendo a su pregunta: $(2)$ no implica $(1)$ porque $(2)$ sólo depende de $f$ y puedes añadir una regla de transferencia que no sea IC. Como contraejemplo, considere un solo bien, $m=1$ . Toma algún mecanismo estrictamente IC, $(f, p)$ y considerar dos tipos, $t$ y $t'$ . Así que, $(1)$ est $$U(t):= f(t)t - p(t) > f(t')t - p(t')\\ U(t'):= f(t')t' - p(t')> f(t)t' - p(t)$$ y por construcción $(2)$ también se mantiene. Sea $t'>t$ y una mayor probabilidad de asignación $f(t') > f(t)$ va acompañada de una mayor transferencia prevista, $p(t') > p(t)$ - de lo contrario $t$ me encantaría fingir ser $t'$ .

Ahora, construye $\widetilde{f}(s) = f(s)$ para todos $s\in T$ y que $\widetilde p (t)= p(t')$ y $\widetilde p (t')= p(t)$ . Desde $(2)$ sólo depende de la función de asignación $f$ y estas funciones son las mismas en ambos mecanismos, $(2)$ se mantiene para $(\widetilde{f}, \widetilde{p})$ . Obviamente, $(1)$ es violado por la razón mencionada anteriormente: $$\widetilde f (t') t - \widetilde p(t') > \widetilde f (t) t - \widetilde p(t).$$

Para abordar tu otro problema (en tu comentario), utiliza la formulación integral de la utilidad esperada. Reescribiendo $(1)$ rendimientos, $$f( t)(t-t'))\geq U(t) - U(t') \geq f (t' )(t-t')$$ lo que implica que $U$ es continua de Lipschitz, lo que implica que $U$ es diferenciable a.e., y es igual a la integral sobre su derivada: $$U (t) = U(\underline t) + \int_{\underline t}^t f(s) ds$$ donde $\underline t$ es el tipo más bajo posible. Entonces, se vuelve a escribir, $$f (t) t - p(t) = U(\underline t) + \int_{\underline t}^t f(s) ds \\ f (t) t - U(\underline t) - \int_{\underline t}^t f(s) ds = p(t).$$ Supongamos que $\underline t=0$ entonces $$p(t) = p(0) + f(t)t - \int_{0}^t f(s) ds.$$ Esto implica el teorema de equivalencia de ingresos: Si dos subastas tienen la misma regla de asignación, las funciones de pago (y por tanto los ingresos) sólo pueden diferir en una constante. El mismo truco funciona para las subastas de varias unidades con demanda de varias unidades, véase, por ejemplo Krishna , cap. 14.