Por favor explique esta prueba para mí: (arbitraje y delimitada set)

Question

Considere la posibilidad de este problema y la posterior proposición:

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Parte de la prueba de esta proposición se da aquí:

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Podría alguien por favor que me explique por qué la existencia de la "asociativo ray" (que nunca he oído hablar de antes) significa que hay un arbitraje? He resaltado que parte de la prueba en rojo.

Answer 1

Permítanme prueba de que el teorema de una manera diferente que podría ser de ayuda:

Teorema: para todo Hay una solución a los agentes problema de optimización iff no existen oportunidades de arbitraje.

i) Resultando el primero si: Existencia de una estrategia óptima implica que no hay arbitraje

• Suponga que $\theta^\estrella$ os de una óptima estrategia de negociación para el agente con un óptimo consumo de asignación de $c^\estrella de$. Supongamos ahora que existe una oportunidad de arbitraje $\theta^{arb}$, es decir, sin la inversión de cualquier dotación inicial que se obtiene un consumo de paquete $c^{arb} > 0 $. Esto implica que $\theta^\star + \theta^{arb}$ produce $c^\star + c^{arb} > c^{\estrella}$. Desde $U$ es stricty creciente y $\theta^\star + \theta^{arb}$ satisface la restricción presupuestaria, que implica que el par inicial $(\theta^\la estrella, c^\estrella$) es una solución para el inversionista del problema.

(ii) Demostrar la segunda si: ni el arbitraje implica una solución para el problema de consumo:

• Si no hay oportunidades de arbitraje, a continuación, un estado de vector de precios debe existir. Como resultado, los precios de los activos existentes (y único) y por tanto los inversores presupuesto conjunto convexo. Desde que la utilidad es cóncava tenemos una solución para el problema de optimización.