Detección de teoría: Agrupación problema

Question

Considere un ejemplo de un riesgo-neutral vendedor que tiene dos distintas indivisible de bienes para la venta. El vendedor quiere maximizar los ingresos esperados. El comprador de la utilidad es de $$I_av_a+I_bv_b-t,$$ donde $I_a,I_b$ son indicadores de si el comprador recibe buena $un$ o $b$ y $t$ es la transferencia monetaria. Ambos $v_a,v_b$ son los tipos de comprador (la disposición a comprar el bueno). Vamos a $v_a$ y $v_b$ ser yo.yo.d. dibuja a partir de una distribución uniforme en $[0,1]$.

Suponga que un vendedor cotiza tres precios: $p_a,p_b,p_{ab}$, donde $p_{ab}\leq p_a+p_b$. ¿Cuál es la elección óptima de $p_a,p_b,p_{ab}$?

El libro de texto (T. Borgers, Una Introducción a la teoría de Diseño de mecanismos) estoy estudiando simplemente dice que esto es un simple cálculo problema y da la solución, ya que $$p_a=p_b=2/3\\ p_{ab}=\frac{4-\sqrt{2}}{3}.$$

No estoy seguro de cómo hacerlo. Agradecería cualquier ayuda o sugerencia. Gracias.

Answer 1

Considerar los incentivos y las restricciones de la participación. Que es, mira que el comprador tipos elegiría la opción.

Un comprador no comprar nada si $$v_a < p_a \quad v_b < p_b \quad v_a +v_b < p_{ab}.$$ Un comprador elige sólo una buena $i \in \{a,b\}$ con $j\neq i$si $$v_i - p_i \geq 0 \quad v_i - p_i \geq v_i + v_j - p_{ab}.$$ De lo contrario, ella elige el paquete. Con la asunción de independiente distribuida uniformemente en valores, se requiere de algunas medidas de precaución para derivar las probabilidades de cada evento.

Por último, desea maximizar su beneficio dado por $$\begin{align} (1-p_a)(p_{ab}-p_a) p_a + (1-p_b)(p_{ab}-p_b) p_b + \\ \left( \frac{(p_a + p_b - p_{ab})^2}{2} + (1 - p_a) (1 + p_a - p_{ab}) + (1 - p_b) (1 + p_b - p_{ab}) \\ - (1 - p_a) (1 - p_b) \derecho) p_{ab}, \end{align}$$ que es super molesto, pero Mathematica sugiere que la solución es correcta.