¿El modelo de valoración de activos de Lucas (1978) presenta mercados completos?

Question

El modelo de fijación de precios de los activos de Lucas (1978) parece ser uno de los modelos de trabajo en las finanzas / modelos de fijación de precios de los activos. También parece que el entorno, con pretensiones de $n$ Las unidades productivas (exógenas) con las que se comercia, presentan mercados completos. También he visto otra versión de este modelo con el agente negociando una sola acción y un solo bono que el instructor me dijo que tenía mercados completos.

Para mí, esto no es obvio en absoluto - el agente no tiene acceso a los valores de Arrow para cada estado, o algo por el estilo. De hecho, en el documento original, los estados son continuos, y esto hace que sea aún más difícil para mí pensar en la integridad del mercado.

¿Puede alguien decirme por qué (o quizás por qué no) este modelo se caracteriza por la exhaustividad del mercado?

Cualquier ayuda sería muy apreciada (o los indicadores de los enlaces pertinentes funcionarían). Gracias.

Edición #1: ----------------------------------------

Sólo para aclarar, aunque entiendo que en equilibrio las tenencias netas (de todos los agentes idénticos) deben ser cero, mi preocupación era que tener acceso a los valores AD frente a no tenerlo puede tener implicaciones en la fijación de los precios de los activos. Lo que quiero decir con esto es que, aunque el resultado en términos de tenencias de activos debe ser (casi por construcción) igual en cualquier caso, pero tal vez la presencia de los valores AD puede distorsionar los precios de otros activos (por ejemplo, los "árboles" de derechos de renta variable).

Intuitivamente, tal vez el precio de los árboles deba ser diferente en presencia de valores AD para compensar el deseo del agente de mantener los valores AD en equilibrio. Mi siguiente paso lógico para determinar si este es o no el caso, fue pensar en si los mercados estaban completos o no en primer lugar - si los mercados ya estaban completos, entonces los valores AD adicionales son "redundantes" en algún sentido, y los precios no deberían cambiar. Si los mercados están incompletos, mi intuición inicial era que esto podría tener consecuencias (no en las posiciones de los activos, sino en los precios).

Para mí, esto no es nada obvio, y es algo que realmente me gustaría ver una prueba.

Answer 1

Me parece que también podríamos decir que los mercados están completos. Me parece que es algo intrascendente ya que se trata de un modelo de agente representativo y que la compensación del mercado requiere que los únicos activos que el agente puede tener en oferta neta positiva sean los $n$ árboles. Los precios de todos los valores de Arrow-Debreu pueden deducirse de los precios sombra. Supongamos que el problema de optimización se reescribe de forma que el agente puede invertir en el $n$ árboles más el conjunto de todos los valores de Arrow-Debreu. (Las condiciones de compensación del mercado dicen que, en equilibrio, el agente debe tener una participación unitaria en cada uno de los $n$ y cero en el resto de los activos y el precio de cada uno de estos valores en equilibrio debe fijarse para soportar estas tenencias. Dado que la completitud del mercado es una cuestión de si el agente puede o no negociar con todos estos valores, podemos interpretar la situación de dos maneras diferentes: o bien el agente puede invertir en los valores Arrow-Debreu (así como en los árboles) pero los valores AD deben tener una oferta neta nula o el agente no puede invertir en los valores AD (sólo en los árboles). En cualquier caso, el resultado es el mismo.

Por otro lado, si tuviéramos un modelo con más de un agente y tuvieran diferentes procesos de dotación, entonces la cuestión de la completitud del mercado importaría para los resultados del equilibrio.

Referencia

Echa un vistazo a la notas aquí .

Hemos utilizado el equilibrio del modelo para determinar un único precio, el precio de un árbol. Con el comercio de árboles, los mercados son completos. Sin embargo, podemos introducir activos adicionales (redundantes) y utilizar el mismo enfoque para determinar sus precios.

Nota adicional:

Su pregunta está en cierto modo relacionada con la pregunta formulada aquí: "Mercados completos en tiempo continuo" . Vea las soluciones dadas allí.

Además, también puede encontrar un debate en estos notas por Markus Brunnermeier:

Si el horizonte es infinito, el número de eventos también es infinito. ¿Implica esto que necesitamos un número infinito de activos para que el mercado sea completo?

• Lista de artículos
  • ¿Necesitamos activos con todos los plazos de vencimiento y eventos posibles para tener un mercado completo?
• No. Finalización dinámica.
  • Arrow (1953) y Guesnerie y Jaffray (1974)

La conclusión, que está en la diapositiva titulada "¿Cuántos activos para completar el mercado?", es que, en tiempo discreto, depende del "número de ramificación" (ver las diapositivas) y que, en tiempo continuo, se pueden obtener mercados completos simplemente con un bono sin riesgo y $n$ activos de riesgo independientes en los que $n$ es el número de movimientos brownianos independientes que subyacen en la economía.

Answer 2

El mercado está completo en la economía de Luca, con algunas salvedades.

El mercado es completo (sólo) en lo que respecta a los créditos con dividendos

Consideremos la economía de Lucas con un árbol. La cartera del inversor representativo puede verse como una cartera de de valores Arrow-Debreu con dividendos. En particular, los mercados son completos con respecto a los créditos contingentes a los dividendos.

Si $D_t$ es el proceso de dividendos exógenos y el inversor tiene una función de utilidad $u$ el precio de equilibrio se caracteriza por la ecuación de precios de los activos (Euler) $$ P_t = \sum_{\omega} e^{- \beta }\frac{ u'(D_{t+1})}{u'(D_t)} (\omega)) P_{t+1}(\omega) \cdot p(\omega) $$ donde $\omega$ es el posible estado del mundo que ocurre en la fecha- $t+1$ con probabilidad $p(\omega)$ . Esto descompone la cartera del inversor representativo -el árbol de Lucas- como una cartera de valores Arrow-Debreu.

La fecha $t$ precio $Q(\omega')$ de la seguridad de AD cuya fecha $t+1$ la recompensa es $1_{\{ \omega = \omega' \}}$ es $$ e^{- \beta }\frac{ u'(D_{t+1})}{u'(D_t)} (\omega')) \cdot p(\omega'). $$ El árbol de Lucas es una cartera cuya fecha $t+1$ pago en el estado $\omega$ es $P_{t+1}(\omega)$ . Por lo tanto, como cualquier cartera en cualquier La economía AD, su fecha- $t$ el precio es la suma de $$ Q(\omega) \times P_{t+1}(\omega), $$ sobre todos los estados posibles $\omega$ .

Por lo tanto, está claro que el mercado está completo con respecto a $\omega$ -contingentes. En principio, cualquier inversor en esta economía tiene acceso a un menú completo de valores AD, y cualquier cartera puede ser replicada por una cartera de valores AD. El factor de descuento estocástico/precios AD de equilibrio es tal que la cartera óptima para el inversor representativo es el propio árbol de Lucas.

Supongamos que ahora existe un activo libre de riesgo/tecnología del ahorro. Si el tipo de interés $r$ viene dada por $$ e^{-r} = \sum_{\omega} Q(\omega), $$ entonces el inversor representativo no elegiría prestar o pedir prestado. Esta es la condición de no arbitraje para el bono de cupón cero. (Si, por ejemplo, $e^{-r} < \sum_{\omega} Q(\omega)$ el inversor intentará ahorrar parte de su riqueza $P_t$ y solo sostienen una fracción del árbol. Habría un exceso de demanda de bonos). Por lo tanto, $r$ es el tipo de interés de equilibrio que despeja el mercado de bonos.

La ecuación de precios de los activos \begin{align} P_t & = \sum_{\omega} e^{- \beta + r}\frac{ u'(D_{t+1})}{u'(D_t)} (\omega)) p(\omega) \cdot e^{-r} P_{t+1}(\omega) \\ & = \sum_{\omega} \frac{ Q(\omega)}{\sum_{\omega'} Q(\omega')} \cdot e^{-r} P_{t+1}(\omega) \quad (1) \end{align} ahora dice que, en un mercado con tasa libre de riesgo $r$ así como los valores AD, el árbol de Lucas es la cartera óptima del inversor representativo.

Equilibrio sin comercio

Como en cualquier modelo de inversor representativo, el equilibrio es un equilibrio de no negociación. En cada fecha $t$ Hay mercados de AD para $t+1$ afirmaciones. En equilibrio, no se produce ningún comercio; los precios de equilibrio en estos mercados son precisamente los precios que garantizan que esta condición de compensación del mercado se mantenga en la trayectoria de equilibrio. Pero se puede fijar el precio de los derivados utilizando el factor de descuento estocástico/núcleo de fijación de precios de la misma manera. En la formulación estándar de tiempo continuo del modelo de Lucas, se puede recuperar la fórmula de Black-Scholes.

No se puede completar con el riesgo de no consumir

En la economía de Lucas, sólo son necesarios los activos que permiten al inversor representativo cubrir su riesgo de consumo. El mercado es no completa con respecto a los diferentes estados para los que el rendimiento de los dividendos del árbol de Lucas es el mismo.

De hecho, no tiene razón de ser. Para ser inducido a mantener el activo (árbol de Lucas), el precio del activo debe compensar al inversor representativo con aversión al riesgo por su riesgo de consumo. En equilibrio, consume el dividendo. Esto significa que el precio, y por tanto el factor de descuento estocástico/núcleo de precios, debe ser una función del dividendo. Por otro lado, el inversor representativo no se preocupa por el riesgo no relacionado con su consumo.

Por ejemplo, si los posibles estados del mundo vienen dados por $(\omega, \omega')$ y el dividendo $D(\omega)$ sólo depende de $\omega$ entonces el mercado sólo es completo con respecto a $\omega$ -contingentes. En Ljungqvist y Sargent se habla de "incertidumbre artificial".

Fórmula Black-Scholes en la economía Lucas

En la formulación estándar de tiempo continuo del modelo de Lucas, se puede recuperar la fórmula de Black-Scholes para valorar la opción de compra europea en mercados completos. Este es un ejemplo de completitud del mercado con respecto a los créditos con dividendos.

(En el lenguaje de las finanzas matemáticas, los derivados en los mercados completos se valoran a través del medida neutral de riesgo . Los precios descontados son martingalas bajo la medida de riesgo neutral. Esto ya se refleja en la ecuación de valoración de activos en tiempo discreto $(1)$ desde arriba: \begin{align} P_t & = \sum_{\omega} \frac{ Q(\omega)}{\sum_{\omega'} Q(\omega')} \cdot e^{-r} P_{t+1}(\omega). \end{align} La medida neutral de riesgo es $q(\omega) = \frac{ Q(\omega)}{\sum_{\omega'} Q(\omega')}$ difiere del SDF por el factor de descuento $e^{-r}$ . La fórmula de Black-Scholes es una versión en tiempo continuo de esto. )

Supongamos que el proceso de dividendos exógenos viene dado por $$ \frac{d D}{D} = \mu dt + \sigma dW $$ donde $W$ es un movimiento browniano estándar, y el inversor maximiza la utilidad esperada $$ E[\int_0^{\infty} e^{-\beta t} u(c_t) dt], $$ sobre el flujo de consumo $c_t$ adaptado con respecto a la filtración generada por $W$ .

La ecuación de precios de los activos es $$ P_0 = E[\int_0^{\infty} \frac{ e^{-\beta t} u'(D_t)}{u'(D_0)} D_t dt]. $$ Supongamos que $u$ es la utilidad de la CRRA $u(c) = \frac{1}{1-\gamma} c^{1-\gamma}$ . Entonces $P_0$ que no es más que una expectativa, puede calcularse directamente: $$ \frac{P_0}{D_0} = \frac{1}{-\beta + (1-\gamma) (\mu + \frac{1}{2} \sigma^2) + \frac{1}{2} (1-\gamma)^2 \sigma^2} \equiv \frac{1}{\delta}. $$ Así que en equilibrio, la relación precio-dividendo $\frac{P}{D}$ es constante $\frac{1}{\delta}$ y el precio es el siguiente $$ \frac{d P}{P} = \mu dt + \sigma dW. $$ El cum-dividendos el proceso de retorno es $$ \frac{d P + D dt}{P} = (\mu + \delta) dt + \sigma dW. \quad (2) $$

Supongamos que el tipo de interés de equilibrio es $r$ en esta economía, y el precio en tiempo 0 del árbol de Lucas es $P$ . Sea $E$ sea el precio de equilibrio de una opción de compra europea en el árbol de Lucas introducido en el tiempo- $0$ maduración en el tiempo- $t$ con huelga $K$ . $E$ viene dada precisamente por la fórmula estándar de Black-Scholes $C(r,P, K, t)$ para la convocatoria europea.

Esto se deduce de los cálculos directos del núcleo de precios $M = u'(D_t)$ : La simple conexión da $$ \frac{dM}{M} = (-\beta - \gamma \mu + \frac{1}{2}\gamma (1+\gamma) \sigma^2) dt - \gamma \sigma dW. $$ Por lo tanto, el tipo de interés de equilibrio es $$ r = \beta + \gamma \mu - \frac{1}{2}\gamma (1+\gamma) \sigma^2 $$ con las observaciones habituales sobre los tres términos de la derecha: reflejan la preferencia temporal, la sustitución intertemporal y el ahorro por precaución. Por tanto, $\gamma \sigma = \frac{(\mu + \delta) - r}{\sigma}$ y $$ \frac{dM}{M} = -r dt - \frac{(\mu + \delta) - r}{\sigma} dW. $$ Así que el proceso del precio del cum-dividendo $(2)$ después de haber descontado $e^{-rt}$ es una martingala bajo la densidad neutral de riesgo $$ \frac{dL}{L} = - \frac{(\mu + \delta) - r}{\sigma} dW. $$ Esta es exactamente la configuración de Black-Scholes para la fijación de precios de los derivados y el precio de la opción de compra europea se ajusta a ella.

Completitud del mercado en tiempo continuo

El enunciado matemático que da la completitud del mercado en los modelos de tiempo continuo es el Teorema de la representación de Martingala que dice que toda martingala con respecto a un Brownian puede representarse como una integral de Ito con respecto a la browniana que genera dicha filtración.

El resultado es no es cierto para las filtraciones generales, es decir, si $W_t$ es un $(\mathcal{F_t})$ -movimiento browniano, no es cierto en general que cada $(\mathcal{F_t})$ -martingale es un $dW$ -integral.

Esto es coherente con la afirmación económica de que el mercado es completo sólo en lo que respecta a los créditos con dividendos. En el ejemplo de Lucas/Black-Scholes, si $W_t$ es un $(\mathcal{F_t})$ -movimiento browniano, entonces el precio de equilibrio y el SDF son medibles no sólo respecto a $(\mathcal{F_t})$ pero la filtración mínima generada $W_t$ . En general, la filtración mínima es menor que $(\mathcal{F_t})$ . Los pagos de la cartera que pueden ser cubiertos/replicados son sólo aquellos que son medibles con respecto al dividendo (en equilibrio, precio/SDF), es decir, la filtración mínima.