Valor esperado de la exponencial del tiempo de impacto de GBM

Question

Tenemos un tiempo de parada $$ \tau=\inf\{t\geq 0: S_0e^{\sigma B_t+(r-\sigma^2/2)t}=S^* \} $$ donde $S_0,\sigma,r,S^*$ son constantes y $S^*<S_0$ y $B_t$ es un movimiento browniano. Deseo calcular el valor esperado $$ \mathbb{E}[1_{\tau \leq \infty }e^{-r\tau}]. $$ Me doy cuenta de que podemos ver que $\tau$ puede reescribirse como $$ \tau=\inf\{t\geq 0: B_t+\frac{(r-\sigma^2/2)}{\sigma}t=\frac{1}{\sigma}\log{\frac{S^*}{S_0}} \} $$ y que desde aquí se podría ver que si hacemos un cambio de medida adecuado, $B_t+\xi t$ será un movimiento browniano bajo la nueva medida. Lo que intenté hacer fue fijar la derivada RN $$ e^{\sigma B_{\tau}-\sigma^2/2\tau } $$

Pero nunca llego más allá de esto -intento realizar el cambio de medida para acabar sólo con la expectativa de que $\tau$ es finito, pero nunca lo consigo.

Answer 1

Sea $W_t= -B_t$ . Además, dejemos que $a= - \frac{r-\frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma}$ et $b= -\frac{1}{\sigma}\ln \frac{S^*}{S_0}$ . Entonces, como en esta pregunta , \begin{align*} \mathbb{P}\left(\tau \ge T \mid W_T\right)\pmb{1}_{\{W_T \le b-aT\}} &= \mathbb{P}\left(W_t+at \le b, t\in[0, T] \mid W_T\right)\pmb{1}_{\{W_T \le b-aT\}}\\ &=\Big[1-\exp\Big(-\frac{2}{T}b\big(b-W_T-aT\big)\Big)\Big] \pmb{1}_{\{W_T \le b-aT\}}, \end{align*} y, en consecuencia, \begin{align*} \mathbb{P}(\tau \ge t) &= \Phi\left(\frac{b-at}{\sqrt{t}}\right) - e^{2ab}\Phi\left(\frac{-b-at}{\sqrt{t}}\right), \end{align*} donde $\Phi$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria normal estándar. La función de densidad viene dada entonces por \begin{align*} \frac{b}{\sqrt{2\pi t^3}}e^{ab}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{b^2}{t}+a^2t \right)}\pmb{1}_{t> 0} = \frac{b}{\sqrt{2\pi t^3}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{b-at}{\sqrt{t}}\right)^2}\pmb{1}_{t> 0} \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} E\left(\pmb{1}_{\tau \leq \infty }e^{-r\tau}\right) &= \int_0^{\infty} e^{-rt}\frac{b}{\sqrt{2\pi t^3}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{b-at}{\sqrt{t}}\right)^2}dt \\ &=e^{ab - b \sqrt{2r+a^2}}\int_0^{\infty} \frac{b}{\sqrt{2\pi t^3}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{b-\sqrt{2r+a^2}t}{\sqrt{t}}\right)^2}dt \\ &=e^{ab - b \sqrt{2r+a^2}}\left[\Phi\left(\frac{b-\sqrt{2r+a^2}t}{\sqrt{t}}\right) - e^{2b\sqrt{2r+a^2}}\Phi\left(\frac{-b-\sqrt{2r+a^2}t}{\sqrt{t}}\right) \right]_{\infty}^0\\ &=e^{ab - b \sqrt{2r+a^2}}\\ &=\left(\frac{S^*}{S_0}\right)^{\frac{2r}{\sigma^2}}. \end{align*}

Solución alternativa

Definimos la medida de probabilidad $\tilde{P}$ tal que \begin{align*} \frac{d\tilde{P}}{dP}\big|_t = e^{-\frac{1}{2}a^2 t - aW_t}, \end{align*} donde $P$ es la medida de probabilidad original. Entonces $\tilde{W}_t = W_t + at$ es un movimiento browniano estándar bajo $\tilde{P}$ . Sea $E$ et $\tilde{E}$ ser expectativas con respecto a las medidas $P$ et $\tilde{P}$ . Entonces, \begin{align*} E\left(\pmb{1}_{\tau \leq \infty }e^{-r\tau}\right) &= \tilde{E}\left(\frac{dP}{d\tilde{P}}\big|_{\tau} \pmb{1}_{\tau \leq \infty }e^{-r\tau}\right)\\ &= \tilde{E}\left(\left(\frac{d\tilde{P}}{dP}\big|_{\tau}\right)^{-1} \pmb{1}_{\tau \leq \infty }e^{-r\tau}\right)\\ &= \tilde{E}\left(e^{\frac{1}{2}a^2 \tau + aW_{\tau}} \pmb{1}_{\tau \leq \infty }e^{-r\tau}\right)\\ &= \tilde{E}\left(e^{-\frac{1}{2}a^2 \tau + a\tilde{W}_{\tau}} \pmb{1}_{\tau \leq \infty }e^{-r\tau}\right)\\ &= \tilde{E}\left(e^{-\frac{1}{2}\left(2r+a^2\right) \tau + \sqrt{2r+a^2} \tilde{W}_{\tau} +(a-\sqrt{2r+a^2}) \tilde{W}_{\tau} } \pmb{1}_{\tau \leq \infty }\right)\\ &= \tilde{E}\left(e^{-\frac{1}{2}\left(2r+a^2\right) \tau + \sqrt{2r+a^2} \tilde{W}_{\tau} +(a-\sqrt{2r+a^2}) b } \right)\\ &= e^{(a-\sqrt{2r+a^2}) b}, \end{align*} por el teorema del muestreo opcional.