¿Por qué es $Y(t)V^h(t)$ ¿una martingala?

Question

Dejemos que $\lambda$ sea el precio de mercado del riesgo: $\frac{a - r}{\sigma}$ y definir $Y(t) = e^{-\lambda W(t) - (r + \frac{\lambda^2}{2})t}$ . Sea $V^h(t)$ ser el proceso de valor de cualquier cartera de autofinanciación. El mercado es un Black Scholes estándar.

¿Por qué es $Y(t)V^h(t)$ ¿una martingala?

Evidentemente, $Y(t)$ resuelve el GMB $dY(t) = -rY(t)dt - \lambda Y(t)dW(t)$ . Desde $h$ se autofinancia, también obtenemos un diferencial para ese proceso. Entonces podemos aplicar la fórmula de Ito utilizando estos dos diferenciales, y obtener el diferencial de su producto, ¿sí? Para que sea una martingala, el $dt$ -término debe desaparecer, sin embargo, no desaparece en mis cálculos. Entonces, ¿son mis cálculos erróneos o mi método está equivocado?

Answer 1

Recuerde que una martingala siempre se define con respecto a algún medida de probabilidad . Su confusión proviene del hecho de que no está siguiendo las medidas que se introducen.

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$\lambda = \frac{a-r}{\sigma}$ refleja, en efecto, algunas precio de mercado del riesgo en el sentido de que, para el siguiente modelo de difusión bajo la medida física $\Bbb{P}$ \begin {align} \frac {dS_t}{S_t} &= a dt + \sigma dW_t^ \Bbb {P} \\ &= (r + \lambda \sigma ) dt + \sigma dW_t^ \Bbb {P} \end {align} $\lambda$ puede considerarse como una prima de riesgo (exceso de rendimiento por unidades de volatilidad) para el activo de riesgo $S$ .

Supongamos ahora que definimos una medida $\Bbb{Q} \sim \Bbb{P}$ tal que $S_t \sim GBM(r, \sigma)$ en $\Bbb{Q}$ (lo que hace desaparecer la prima de riesgo). Esta medida se define mediante la siguiente derivada de Random-Nikodym: $$ \left. \frac{d\Bbb{Q}}{d\Bbb{P}} \right\vert_{\mathcal{F}_t} = \mathcal{E}[-\lambda W_t^\Bbb{P}] = e^{rt} Y_t $$ con su $$ Y_t = e^{-\lambda W_t^\Bbb{P}-(r+\frac{1}{2}\lambda^2)t} $$

De hecho, Girsanov nos dice que $$ W_t^\Bbb{P} - \langle W^\Bbb{P} , -\lambda W^\Bbb{P} \rangle_t = W_t^\Bbb{P} + \lambda t$$ es un $\Bbb{Q}$ Movimiento browniano

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Por otro lado, el teorema fundamental de la fijación de precios de los activos dice que, en ausencia de oportunidades de arbitraje, el valor descontado de cualquier cartera autofinanciada debería ser una martingala bajo la medida equivalente $\Bbb{Q}$ Por lo tanto: $$ \Bbb{E}^\Bbb{Q}[e^{-rt} V_t^h \mid \mathcal{F}_s] = \Bbb{E}^\Bbb{Q}_s [ e^{-rt} V_t^h ] = e^{-rs} V_s^h $$

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Desde Teorema de Girsanov para las expectativas condicionales (a veces llamadas fórmula abstracta de Bayes ) tenemos que, para un $(\mathcal{F}_t,\Bbb{Q})-$ proceso medible $X_t$ $$ \Bbb{E}^\Bbb{Q}_s [ X_t ] = \frac{ \Bbb{E}_s^\Bbb{P} \left[ X_t Z_t \right] }{ \Bbb{E}_s^\Bbb{P} [ Z_t ] } $$ donde hemos utilizado la notación abreviada $$ Z_t = \left. \frac{d\Bbb{Q}}{d\Bbb{P}} \right\vert_{\mathcal{F}_t} $$ Aplicando esto a $X_t = e^{-rt}V_t^h$ y las medidas equivalentes $\Bbb{P}$ y $\Bbb{Q}$ definido anteriormente (por lo tanto $Z_t = e^{rt} Y_t = \mathcal{E}[-\lambda W_t^\Bbb{P}]$ a $\Bbb{P}$ -martingale) rinde: $$ \Bbb{E}^\Bbb{Q}_s [ e^{-rt} V_t^h ] = \frac{ \Bbb{E}_s^\Bbb{P} \left[ V_t^h Y_t \right] }{ \Bbb{E}_s^\Bbb{P} [ e^{rt} Y_t ] } $$ por lo que se aísla la expectativa en el lado derecho y se utiliza el hecho de que $e^{-rt}V_t^h$ es un $\Bbb{Q}$ -martingale, $$ \Bbb{E}_s^\Bbb{P} \left[ V_t^h Y_t \right] = \underbrace{\left(e^{rs} Y_s\right)}_{Z_t \text{ is a } \Bbb{P}-\text{martingale }} \underbrace{e^{-rs} V_s^h}_{e^{-rt}V_t^h \text{ is a } \Bbb{Q}-\text{martingale }} = Y_s V_s^h $$ y $V_t^h Y_t$ es realmente un $\Bbb{P}$ -martingale (pero no una $\Bbb{Q}$ -martingale).

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[Observación] Por supuesto, debería llegar al mismo resultado con su enfoque consistente en utilizar el teorema de la representación de la martingala (es decir, calcular el diferencial del producto $Y_t V_t^h$ y asegurándose de que la deriva resultante es cero). La cuestión es que ambos procesos deben expresarse bajo la misma medida para que funcione, aquí $\Bbb{P}$ . En tu post, en realidad mezclas brownianos definidos en $\Bbb{P}$ y los brownianos definidos en $\Bbb{Q}$ .

Answer 2

Como alternativa a la respuesta de @Quantuple, también podemos proceder de la siguiente manera.

Suponemos que, bajo la medida de probabilidad asumida (por ejemplo, la medida del mundo real), el proceso de acciones subyacente $\{S_t, t \ge 0\}$ satisfacen una SDE de la forma \begin {align*} dS_t = S_t (adt + \sigma dW_t), \end {align*} donde $\{W_t, t\ge 0\}$ es un movimiento browniano estándar. Además, dejemos que $B_t=e^{rt}$ sea el valor de la cuenta del mercado monetario en el momento $t$ . Suponemos que el proceso de valor $\{V_t^h, t \ge 0\}$ de la cartera de autofinanciación es de la forma \begin {align*} V_t^h = \alpha_t B_t + \beta_t S_t, \end {align*} donde $\alpha_t$ y $\beta_t$ son unidades de la cuenta del mercado monetario y de la acción subyacente.

Tenga en cuenta que, \begin {align*} dV_t^h &= \alpha_t dB_t + \beta_t dS_t \\ &=r \alpha_t B_t dt + a \beta_t S_tdt + \sigma \beta_t S_t dW_t. \end {align*} De la suposición, \begin {align*} dY_t = -rY_tdt - \lambda Y_t dW_t. \end {align*} Entonces \begin {align*} &\ d \left (Y_tV_t^h \right ) \\ =&\ Y_t dV_t^h + V_t^h dY_t + d \langle Y, V^h \rangle_t\\ =& Y_t \left ( r \alpha_t B_t dt + a \beta_t S_tdt + \sigma \beta_t S_t dW_t \right )+V_t^h \left ( -rY_tdt - \lambda Y_t dW_t \right ) - \lambda \sigma\beta_tY_t S_t dt \\ =& Y_t \left [ \left (r \alpha_t B_t+a \beta_t S_t-rV_t^h- \lambda \sigma\beta_tS_t\right )dt + \left ( \sigma \beta_t S_t - \lambda V_t^h \right )dW_t \right ] \\ =& Y_t \left [ \left (r \alpha_t B_t+r \beta_t S_t-rV_t^h \right )dt + \left ( \sigma \beta_t S_t - \lambda V_t^h \right )dW_t \right ] \\ =& Y_t \left ( \sigma \beta_t S_t - \lambda V_t^h \right )dW_t. \end {align*} Es decir, $\{Y_tV_t^h, t \ge0\}$ es una martingala.