Con la opción de pago $K^2/S^2$

Question

Dada la dinámica de los activos de riesgo ( con dividendo $q$ ),

$$\frac{dS_t}{S_t}=(\mu-q)dt + \sigma dW_t^P$$

Considere la posibilidad de una opción europea con la rentabilidad,

$$P_0(S) = \begin{casos} 1, & \text{si $S\le K$} \\ \frac{K^2}{S^2}, & \text{si $S\gt K$} \end{casos}$$

Voy a demostrar que el valor de la opción está dada por,

$$V(S, t) = \left ( \frac{K^2}{S^2}\right)e^{(3\sigma^2+2q-3r)(T-t)}\mathcal{N}(\hat{d_1})+e^{-r(T-t)}\mathcal{N}(-\hat{d_2})$$ donde $$\begin{align} \hat{d_1}&=\frac{\text{log}(S/K)+(r-q-\frac{5}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T t}}\\ \hat{d_2}&=\frac{\text{log}(S/K)+(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T t}}\\ \end{align}$$

Yo estaba muy cerca de la siguiente,

$$\begin{align} V(S, t) &= e^{-r(T-t) }\mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\left[\mathbb{1}_{S_T \le K} + \frac{K^2}{S^2}\mathbb{1}_{S_T\ge K}\derecho]\\ &= e^{-r(T-t) }\mathbb{Q}(S_T \le K) + \mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\left[\frac{K^2}{S_T^2}\mathbb{1}_{S_T\ge K}\derecho]\\ &= e^{-r(T-t)}\mathcal{N}-\hat{d_2})+ \frac{K^2}{S_t^2}\mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\left[\frac{S_t^2}{S_T^2}\mathbb{1}_{S_T\ge K}\derecho]\\ &= e^{-r(T-t)}\mathcal{N}-\hat{d_2})+ \frac{K^2}{S^2}\mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\left[\text{exp}(-2(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)-2\sigma W^Q_{T t}) \cdot\mathbb{1}_{S_T\ge K} \derecho]\\ &= e^{-r(T-t)}\mathcal{N}-\hat{d_2})+ \frac{K^2}{S^2}e^{(\sigma^2+2t-3r)}\mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\left[\text{exp}(-2\sigma W^Q_{T t}) \cdot\mathbb{1}_{S_T\ge K}\derecho]\\ \end{align}$$

y, a continuación, no estoy muy seguro de cómo proceder a partir de aquí.

Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Vamos a $$I= \mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\left[\text{exp}(-2\sigma W_{T t}) \cdot\mathbb{1}_{S_T\ge K}\derecho] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\hat{d}_2}^{\infty} e^{-2\sigma x} e^{-x^2/2} dx.$$ Así $$I = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\hat{d}_2}^{\infty} e^{-(x-2\sigma)^2/2} dx \, e^{2\sigma^2}.$$ Cambio de variables $y = x-2\sigma$ y listo.

Answer 2

Me las arreglé para encontrar otra manera de hacerlo a través de cambio de la medida de la siguiente manera...

Sabemos que la dinámica de $S_t^2$ es dada por,

$$\begin{align} S_t^2&=S_0^2 \text{exp}\left( \left( 2r-2t-\sigma^2\derecho)t+2\sigma^2 W_t^Q \ \ derecho)\\ \Rightarrow \frac{1}{S_t^2}&=\frac{1}{S_0^2} \text{exp}\left( -\left( 2r-2t-\sigma^2\derecho)t-2\sigma^2 W_t^Q \ \ derecho)\\ \Rightarrow \text{exp}\left( \left( 2r-2t-3\sigma^2\derecho)t \right)\frac{S_0^2}{S_t^2} &= \text{exp}\left( -2\sigma^2 t -2\sigma W_t^Q \ \ derecho)\\ &=D_t \end{align}$$

donde $D_t$ es un cambio de la medida.

Por Girsanov, tenemos,

$$D_t=\frac{d\mathbb{Q}^{S^2} }{d\mathbb{Q}}=\text{exp}\left( -2\sigma^2 t -2\sigma W_t^Q \ \ derecho)\\ $$ y $$W^{S^2}_t=W_t^Q+2\sigma t$$

es un $P^{S^2}$-Movimiento Browniano.

Utilizando la tenemos encima,

$$\begin{align} e^{-r(T-t)}E_t^Q\left[\frac{K^2}{S_T^2}\mathbb{1}_{\{S_T\gt K\}}\right]&=K^2 e^{-r(T-t)} \left[ \frac{1}{E_t^{Q^{S^2}}\left[\frac{1}{D_T}\derecho]} E_t^{Q^{S^2}} \left[\frac{1}{D_T S_T^2}\mathbb{1}_{\{S_T\gt K\}}\right]\derecho]\\ &=K^2 e^{-r(T-t)}D_t E_t^{Q^{S^2}} \left[e^{- \left( 2r-2t-3\sigma^2\derecho)t}\frac{S_T^2}{S^2_0}\frac{1}{S_T^2}\mathbb{1}_{\{S_T\gt K\}}\right]\\ &=K^2 e^{-r(T-t)}e^{ \left( 2r-2t-3\sigma^2\derecho)} \frac{S_0^2}{S_t^2} E_t^{Q^{S^2}} \left[e^{- \left( 2r-2t-3\sigma^2\derecho)T}\frac{1}{S_0^2}\mathbb{1}_{\{S_T\gt K\}}\right]\\ &=\frac{K^2}{S^2} e^{ \left( 3\sigma^2 + 2t -3r \derecho)(T-t)} E_t^{Q^{S^2}} \left[\mathbb{1}_{\{S_T\gt K\}}\right]\\ &=\frac{K^2}{S^2} e^{ \left( 3\sigma^2 + 2t -3r \derecho)(T-t)} P^{S^2} \left( S_T\gt K\derecho)\\ &=\frac{K^2}{S^2} e^{ \left( 3\sigma^2 + 2t -3r \derecho)(T-t)} P^{S^2} \left( S_t^2 e^{\left( r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t)+\sigma W_{T t}^P } \gt K \derecho)\\ &=\frac{K^2}{S^2} e^{ \left( 3\sigma^2 + 2t -3r \derecho)(T-t)} P^{S^2} \left( \left( r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t)+\sigma\left( W_{T t}^{Q^{S^2}}-2\sigma (T-t) \derecho) \gt \text{log}\frac{K}{S} \derecho)\\ &=\frac{K^2}{S^2} e^{ \left( 3\sigma^2 + 2t -3r \derecho)(T-t)} P^{S^2} \left( \sigma\left( W_{T t}^{Q^{S^2}}\right) \gt \text{log}\frac{K}{S} - \left( r-q-\frac{5}{2}\sigma^2\right)(T-t)\derecho)\\ &=\frac{K^2}{S^2} e^{ \left( 3\sigma^2 + 2t -3r \derecho)(T-t)} P^{S^2} \left( -W_{T t}^{Q^{S^2}} \lt \frac{\text{log}\frac{S}{K} + \left( r-q-\frac{5}{2}\sigma^2\right)(T-t)}{\sigma }\derecho)\\ &=\frac{K^2}{S^2} e^{ \left( 3\sigma^2 + 2t -3r \derecho)(T-t)} P^{S^2} \left( \frac{1}{\sqrt{T t}}W_{T t}^{Q^{S^2}} \lt \frac{\text{log}\frac{S}{K} + \left( r-q-\frac{5}{2}\sigma^2\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T t}}\derecho)\\ &=\frac{K^2}{S^2} e^{ \left( 3\sigma^2 + 2t -3r \derecho)(T-t)} N(\hat{d_1})\\ \end{align}$$

En combinación con la parte anterior da el resultado deseado.