Supongamos que tenemos una opción de compra europea para cajeros automáticos sobre una cesta de dos valores y la valoramos con
1) Vol local multivariante con correlación constante
2) Cópula gaussiana
Suponiendo que utilicemos el mismo coeficiente de correlación, ¿obtendremos siempre el mismo (o casi el mismo) resultado? ¿Cómo podemos cuantificar la diferencia entre ambos enfoques?
Dice lo siguiente:
Utilicemos un modelo de volatilidad local multiactivo calibrado para cada acción en su sonrisa de mercado de vencimiento $T$ (una sonrisa de una sola madurez), y con los movimientos brownianos correlacionados a través de una matriz de correlación $\rho$
Entonces existe una volatilidad local para cada activo tal que: (1) la sonrisa del vencimiento $T$ para cada activo, (2) el precio de la volatilidad local multiactivo resultante es igual al precio de la cópula gaussiana con un martrix de correlación igual a $\rho$ y los marginales calibrados en el $T$ -Sonrisas de madurez. Esto es válido para cualquier pago europeo.
Dada una $T$ -sonrisa de vencimiento, existen muchas volatilidades locales diferentes calibradas a esta única sonrisa de vencimiento. Generan diferentes sonrisas para los vencimientos más cortos. La volatilidad local que recupera el precio de la cópula es la generada por un modelo funcional de Markov construido sobre el $T$ -Sonrisa de madurez.
Lo explica mejor que yo en la sección 2.10 de su libro. El capítulo 2 de su libro está publicado gratuitamente en su sitio web: www.lorenzobergomi.com .
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¿Puedes escribir cómo generas los escenarios en ambas técnicas?
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Supongo que: (1) Una superficie de volatilidad local por subyacente (inferida del respectivo mercado de vainilla - por ejemplo, la fórmula de Dupire), los movimientos brownianos impulsores individuales se vinculan entonces utilizando un coeficiente de correlación instantánea constante $\rho$ . (2) Las distribuciones neutrales al riesgo en $T$ para cada subyacente (deducido del mercado de vainilla - por ejemplo, la idendidad de Breeden Litzenberger), estos marginales se empatan utilizando una cópula gaussiana con el mismo coeficiente de correlación $\rho$ . El segundo método podría considerarse como una aproximación del primero (efecto de descorrelación) a un "gran paso de tiempo".
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@Quantuple Me refería exactamente a eso. Sin embargo, ¿podrías explicar con más detalle una aproximación de "gran paso de tiempo"?
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Me refería simplemente a que puedes ejecutar el método de la cópula utilizando 1 paso de tiempo si quieres. Mientras que para el primero hay que simular una dinámica de VL, de ahí la discretización temporal habitual. Además, si el VL es plano, es fácil demostrar que ambos métodos coinciden (no hay descorrelación, es decir, correlación terminal = correlación instantánea)
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No. La correlación de la cópula gaussiana debe ser la correlación terminal. La correlación en el modelo vol local es instantánea. El concepto es similar al de volatilidad local e implícita